MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem2 24845
Description: A prime greater than 3 does not divide 2 or 3, so its residue mod 6 is 1 or 5. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiublem2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})

Proof of Theorem ppiublem2
StepHypRef Expression
1 prmz 15324 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
3 6nn 11141 . . . 4 6 ∈ ℕ
4 zmodfz 12640 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℕ) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
52, 3, 4sylancl 693 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...(6 − 1)))
6 df-6 11035 . . . . . 6 6 = (5 + 1)
76oveq1i 6620 . . . . 5 (6 − 1) = ((5 + 1) − 1)
8 5cn 11052 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
9 ax-1cn 9946 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
108, 9pncan3oi 10249 . . . . 5 ((5 + 1) − 1) = 5
117, 10eqtri 2643 . . . 4 (6 − 1) = 5
1211oveq2i 6621 . . 3 (0...(6 − 1)) = (0...5)
135, 12syl6eleq 2708 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ (0...5))
14 6re 11053 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
1514leidi 10514 . . . . . . . . . 10 6 ≤ 6
16 noel 3900 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝑃 mod 6) ∈ ∅
1716pm2.21i 116 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 mod 6) ∈ ∅ → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
18 5lt6 11156 . . . . . . . . . . . . 13 5 < 6
193nnzi 11353 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℤ
20 5nn 11140 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℕ
2120nnzi 11353 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℤ
22 fzn 12307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((6 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅))
2319, 21, 22mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 (5 < 6 ↔ (6...5) = ∅)
2418, 23mpbi 220 . . . . . . . . . . . 12 (6...5) = ∅
2517, 24eleq2s 2716 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
2715, 26pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (6 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (6...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
28 5nn0 11264 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℕ0
2920elexi 3202 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ V
3029prid2 4273 . . . . . . . . . 10 5 ∈ {1, 5}
31303mix3i 1233 . . . . . . . . 9 (2 ∥ 5 ∨ 3 ∥ 5 ∨ 5 ∈ {1, 5})
3227, 28, 6, 31ppiublem1 24844 . . . . . . . 8 (5 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (5...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
33 4nn0 11263 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
34 df-5 11034 . . . . . . . 8 5 = (4 + 1)
35 2z 11361 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
36 dvdsmul1 14938 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 2))
3735, 35, 36mp2an 707 . . . . . . . . . 10 2 ∥ (2 · 2)
38 2t2e4 11129 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
3937, 38breqtri 4643 . . . . . . . . 9 2 ∥ 4
40393mix1i 1231 . . . . . . . 8 (2 ∥ 4 ∨ 3 ∥ 4 ∨ 4 ∈ {1, 5})
4132, 33, 34, 40ppiublem1 24844 . . . . . . 7 (4 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (4...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
42 3nn0 11262 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
43 df-4 11033 . . . . . . 7 4 = (3 + 1)
44 3z 11362 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
45 iddvds 14930 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℤ → 3 ∥ 3)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . 8 3 ∥ 3
47463mix2i 1232 . . . . . . 7 (2 ∥ 3 ∨ 3 ∥ 3 ∨ 3 ∈ {1, 5})
4841, 42, 43, 47ppiublem1 24844 . . . . . 6 (3 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (3...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
49 2nn0 11261 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
50 df-3 11032 . . . . . 6 3 = (2 + 1)
51 iddvds 14930 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 2)
5235, 51ax-mp 5 . . . . . . 7 2 ∥ 2
53523mix1i 1231 . . . . . 6 (2 ∥ 2 ∨ 3 ∥ 2 ∨ 2 ∈ {1, 5})
5448, 49, 50, 53ppiublem1 24844 . . . . 5 (2 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (2...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
55 1nn0 11260 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
56 df-2 11031 . . . . 5 2 = (1 + 1)
57 1ex 9987 . . . . . . 7 1 ∈ V
5857prid1 4272 . . . . . 6 1 ∈ {1, 5}
59583mix3i 1233 . . . . 5 (2 ∥ 1 ∨ 3 ∥ 1 ∨ 1 ∈ {1, 5})
6054, 55, 56, 59ppiublem1 24844 . . . 4 (1 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (1...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
61 0nn0 11259 . . . 4 0 ∈ ℕ0
62 1e0p1 11504 . . . 4 1 = (0 + 1)
63 dvds0 14932 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → 2 ∥ 0)
6435, 63ax-mp 5 . . . . 5 2 ∥ 0
65643mix1i 1231 . . . 4 (2 ∥ 0 ∨ 3 ∥ 0 ∨ 0 ∈ {1, 5})
6660, 61, 62, 65ppiublem1 24844 . . 3 (0 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
6766simpri 478 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (0...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
6813, 67mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3896  {cpr 4155   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893   < clt 10026  cle 10027  cmin 10218  cn 10972  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  5c5 11025  6c6 11026  cz 11329  ...cfz 12276   mod cmo 12616  cdvds 14918  cprime 15320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-prm 15321
This theorem is referenced by:  ppiub  24846
  Copyright terms: Public domain W3C validator