Theorem pr2ne 9038

Description: If an unordered pair has two elements they are different. (Contributed by FL, 14-Feb-2010.)

Assertion

Ref	Expression
pr2ne	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Proof of Theorem pr2ne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 4413	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
2	1	eqcoms 2768	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴})
3		enpr1g 8189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜)
4		entr 8175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜) → {𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜)
5		1sdom2 8326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1𝑜 ≺ 2𝑜
6		sdomnen 8152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1𝑜 ≺ 2𝑜 → ¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 1𝑜 ≈ 2𝑜
8		ensym 8172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → 1𝑜 ≈ {𝐴, 𝐵})
9		entr 8175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1𝑜 ≈ {𝐴, 𝐵} ∧ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ≈ 2𝑜)
10	9	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1𝑜 ≈ {𝐴, 𝐵} → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → 1𝑜 ≈ 2𝑜))
12	7, 11	mtoi 190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
13	12	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 1𝑜 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
14	4, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} ∧ {𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜) → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
15	14	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴} → ({𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
16		prex 5058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ V
17		eqeng 8157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ∈ V → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴}))
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → {𝐴, 𝐵} ≈ {𝐴, 𝐴})
19	15, 18	syl11 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
20	19	a1dd 50	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝐴, 𝐴} ≈ 1𝑜 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))))
21	3, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → (𝐵 ∈ 𝐷 → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))))
22	21	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → (𝐵 ∈ 𝐷 → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))))
23	22	imp 444	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
24	23	pm2.43a 54	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} = {𝐴, 𝐴} → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
25	2, 24	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 = 𝐵 → ¬ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
26	25	necon2ad 2947	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 → 𝐴 ≠ 𝐵))
27		pr2nelem 9037	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
28	27	3expia 1115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴 ≠ 𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
29	26, 28	impbid 202	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ↔ 𝐴 ≠ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  Vcvv 3340  {cpr 4323   class class class wbr 4804  1_𝑜c1o 7723  2_𝑜c2o 7724   ≈ cen 8120   ≺ csdm 8122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-1o 7730  df-2o 7731  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126

This theorem is referenced by:  prdom2  9039  isprm2lem  15616  pmtrrn2  18100  mdetunilem7  20646