MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2nelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2nelem 8772
Description: Lemma for pr2ne 8773. (Contributed by FL, 17-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
pr2nelem ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)

Proof of Theorem pr2nelem
StepHypRef Expression
1 disjsn2 4222 . . 3 (𝐴𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
2 ensn1g 7966 . . . . 5 (𝐴𝐶 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
3 ensn1g 7966 . . . . 5 (𝐵𝐷 → {𝐵} ≈ 1𝑜)
4 pm54.43 8771 . . . . . . 7 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ {𝐵} ≈ 1𝑜) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2𝑜))
5 df-pr 4156 . . . . . . . 8 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
65breq1i 4625 . . . . . . 7 ({𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜 ↔ ({𝐴} ∪ {𝐵}) ≈ 2𝑜)
74, 6syl6bbr 278 . . . . . 6 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ {𝐵} ≈ 1𝑜) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
87biimpd 219 . . . . 5 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ {𝐵} ≈ 1𝑜) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
92, 3, 8syl2an 494 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
109ex 450 . . 3 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅ → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
111, 10syl7 74 . 2 (𝐴𝐶 → (𝐵𝐷 → (𝐴𝐵 → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)))
12113imp 1254 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cun 3558  cin 3559  c0 3896  {csn 4153  {cpr 4155   class class class wbr 4618  1𝑜c1o 7499  2𝑜c2o 7500  cen 7897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-1o 7506  df-2o 7507  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903
This theorem is referenced by:  pr2ne  8773  en2eqpr  8775  en2eleq  8776  pr2pwpr  13194  pmtrprfv  17789  pmtrprfv3  17790  symggen  17806  pmtr3ncomlem1  17809  pmtr3ncom  17811  mdetralt  20328  en2top  20695  hmphindis  21505  pmtrto1cl  29626
  Copyright terms: Public domain W3C validator