MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2pwpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2pwpr 13199
Description: The set of subsets of a pair having length 2 is the set of the pair as singleton. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pr2pwpr ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2𝑜} = {{𝐴, 𝐵}})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑝)

Proof of Theorem pr2pwpr
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4140 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵})
2 prfi 8179 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3 ssfi 8124 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ Fin)
42, 3mpan 705 . . . . . . . 8 (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ∈ Fin)
5 hash2 13133 . . . . . . . . . . . . . 14 (#‘2𝑜) = 2
65eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (#‘2𝑜)
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ Fin → 2 = (#‘2𝑜))
87eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ Fin → ((#‘𝑠) = 2 ↔ (#‘𝑠) = (#‘2𝑜)))
9 2onn 7665 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜 ∈ ω
10 nnfi 8097 . . . . . . . . . . . . 13 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 ∈ Fin
12 hashen 13075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → ((#‘𝑠) = (#‘2𝑜) ↔ 𝑠 ≈ 2𝑜))
1311, 12mpan2 706 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ Fin → ((#‘𝑠) = (#‘2𝑜) ↔ 𝑠 ≈ 2𝑜))
148, 13bitrd 268 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ Fin → ((#‘𝑠) = 2 ↔ 𝑠 ≈ 2𝑜))
15 hash2pwpr 13196 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
1615a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
1716ex 450 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑠) = 2 → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
1814, 17syl6bir 244 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ≈ 2𝑜 → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
1918com23 86 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2𝑜 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
204, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2𝑜 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
211, 20mpcom 38 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2𝑜 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
2221imp 445 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
2322com12 32 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
24 prex 4870 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴, 𝐵} ∈ V
2524prid2 4268 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
2726olcd 408 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
28 elun 3731 . . . . . . . . . 10 ({𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
2927, 28sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
30 pwpr 4398 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝐴, 𝐵} = ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
3129, 30syl6eleqr 2709 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
3231adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
33 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
3433adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
3532, 34mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
36 pr2nelem 8771 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
3736adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
38 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2𝑜 ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
3938adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ≈ 2𝑜 ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
4037, 39mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ≈ 2𝑜)
4135, 40jca 554 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜))
4241ex 450 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜)))
4323, 42impbid 202 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜) ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
44 breq1 4616 . . . 4 (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ≈ 2𝑜𝑠 ≈ 2𝑜))
4544elrab 3346 . . 3 (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2𝑜} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜))
46 velsn 4164 . . 3 (𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
4743, 45, 463bitr4g 303 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2𝑜} ↔ 𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
4847eqrdv 2619 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2𝑜} = {{𝐴, 𝐵}})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  cun 3553  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130  {csn 4148  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cfv 5847  ωcom 7012  2𝑜c2o 7499  cen 7896  Fincfn 7899  2c2 11014  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  pmtrprfval  17828
  Copyright terms: Public domain W3C validator