Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pr2pwpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pr2pwpr 13445
 Description: The set of subsets of a pair having length 2 is the set of the pair as singleton. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
pr2pwpr ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2𝑜} = {{𝐴, 𝐵}})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑝)   𝑊(𝑝)

Proof of Theorem pr2pwpr
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4304 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵})
2 prfi 8392 . . . . . . . . 9 {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
3 ssfi 8337 . . . . . . . . 9 (({𝐴, 𝐵} ∈ Fin ∧ 𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ Fin)
42, 3mpan 708 . . . . . . . 8 (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → 𝑠 ∈ Fin)
5 hash2 13377 . . . . . . . . . . . . . 14 (♯‘2𝑜) = 2
65eqcomi 2761 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (♯‘2𝑜)
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ Fin → 2 = (♯‘2𝑜))
87eqeq2d 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ (♯‘𝑠) = (♯‘2𝑜)))
9 2onn 7881 . . . . . . . . . . . . 13 2𝑜 ∈ ω
10 nnfi 8310 . . . . . . . . . . . . 13 (2𝑜 ∈ ω → 2𝑜 ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 2𝑜 ∈ Fin
12 hashen 13321 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ Fin ∧ 2𝑜 ∈ Fin) → ((♯‘𝑠) = (♯‘2𝑜) ↔ 𝑠 ≈ 2𝑜))
1311, 12mpan2 709 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = (♯‘2𝑜) ↔ 𝑠 ≈ 2𝑜))
148, 13bitrd 268 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ Fin → ((♯‘𝑠) = 2 ↔ 𝑠 ≈ 2𝑜))
15 hash2pwpr 13442 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
1615a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑠) = 2 ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
1716ex 449 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑠) = 2 → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
1814, 17syl6bir 244 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ≈ 2𝑜 → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
1918com23 86 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ Fin → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2𝑜 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
204, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝑠 ⊆ {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2𝑜 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))))
211, 20mpcom 38 . . . . . 6 (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2𝑜 → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵})))
2221imp 444 . . . . 5 ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜) → ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
2322com12 32 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜) → 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
24 prex 5050 . . . . . . . . . . . . 13 {𝐴, 𝐵} ∈ V
2524prid2 4434 . . . . . . . . . . . 12 {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}
2625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
2726olcd 407 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
28 elun 3888 . . . . . . . . . 10 ({𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ {∅, {𝐴}} ∨ {𝐴, 𝐵} ∈ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
2927, 28sylibr 224 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}}))
30 pwpr 4574 . . . . . . . . 9 𝒫 {𝐴, 𝐵} = ({∅, {𝐴}} ∪ {{𝐵}, {𝐴, 𝐵}})
3129, 30syl6eleqr 2842 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
3231adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
33 eleq1 2819 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
3433adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵}))
3532, 34mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵})
36 pr2nelem 9009 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
3736adantr 472 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜)
38 breq1 4799 . . . . . . . 8 (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ≈ 2𝑜 ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
3938adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ≈ 2𝑜 ↔ {𝐴, 𝐵} ≈ 2𝑜))
4037, 39mpbird 247 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → 𝑠 ≈ 2𝑜)
4135, 40jca 555 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) ∧ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}) → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜))
4241ex 449 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝑠 = {𝐴, 𝐵} → (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜)))
4323, 42impbid 202 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → ((𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜) ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵}))
44 breq1 4799 . . . 4 (𝑝 = 𝑠 → (𝑝 ≈ 2𝑜𝑠 ≈ 2𝑜))
4544elrab 3496 . . 3 (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2𝑜} ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∧ 𝑠 ≈ 2𝑜))
46 velsn 4329 . . 3 (𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}} ↔ 𝑠 = {𝐴, 𝐵})
4743, 45, 463bitr4g 303 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝑠 ∈ {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2𝑜} ↔ 𝑠 ∈ {{𝐴, 𝐵}}))
4847eqrdv 2750 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐴𝐵) → {𝑝 ∈ 𝒫 {𝐴, 𝐵} ∣ 𝑝 ≈ 2𝑜} = {{𝐴, 𝐵}})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  {crab 3046   ∪ cun 3705   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  𝒫 cpw 4294  {csn 4313  {cpr 4315   class class class wbr 4796  ‘cfv 6041  ωcom 7222  2𝑜c2o 7715   ≈ cen 8110  Fincfn 8113  2c2 11254  ♯chash 13303 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-hash 13304 This theorem is referenced by:  pmtrprfval  18099
 Copyright terms: Public domain W3C validator