Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsbasprj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsbasprj 16053
 Description: Each point in a structure product restricts on each coordinate to the relevant base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsbasmpt.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsbasmpt.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsbasmpt.t (𝜑𝑇𝐵)
prdsbasprj.j (𝜑𝐽𝐼)
Assertion
Ref Expression
prdsbasprj (𝜑 → (𝑇𝐽) ∈ (Base‘(𝑅𝐽)))

Proof of Theorem prdsbasprj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasprj.j . 2 (𝜑𝐽𝐼)
2 prdsbasmpt.t . . . 4 (𝜑𝑇𝐵)
3 prdsbasmpt.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4 prdsbasmpt.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
5 prdsbasmpt.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
6 prdsbasmpt.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
7 prdsbasmpt.r . . . . 5 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
83, 4, 5, 6, 7prdsbas2 16050 . . . 4 (𝜑𝐵 = X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥)))
92, 8eleqtrd 2700 . . 3 (𝜑𝑇X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥)))
10 elixp2 7856 . . . 4 (𝑇X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥)) ↔ (𝑇 ∈ V ∧ 𝑇 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑇𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))))
1110simp3bi 1076 . . 3 (𝑇X𝑥𝐼 (Base‘(𝑅𝑥)) → ∀𝑥𝐼 (𝑇𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
129, 11syl 17 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 (𝑇𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
13 fveq2 6148 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝐽))
14 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑥 = 𝐽 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝐽))
1514fveq2d 6152 . . . 4 (𝑥 = 𝐽 → (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝐽)))
1613, 15eleq12d 2692 . . 3 (𝑥 = 𝐽 → ((𝑇𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)) ↔ (𝑇𝐽) ∈ (Base‘(𝑅𝐽))))
1716rspcva 3293 . 2 ((𝐽𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑇𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → (𝑇𝐽) ∈ (Base‘(𝑅𝐽)))
181, 12, 17syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝑇𝐽) ∈ (Base‘(𝑅𝐽)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186   Fn wfn 5842  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Xcixp 7852  Basecbs 15781  Xscprds 16027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-prds 16029 This theorem is referenced by:  prdsplusgcl  17242  prdsidlem  17243  prdsmndd  17244  prdspjmhm  17288  prdsinvlem  17445  prdscmnd  18185  prdsmulrcl  18532  prdsringd  18533  prdsvscacl  18887  prdslmodd  18888
 Copyright terms: Public domain W3C validator