MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscmnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdscmnd 18185
Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscmnd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdscmnd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdscmnd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶CMnd)
Assertion
Ref Expression
prdscmnd (𝜑𝑌 ∈ CMnd)

Proof of Theorem prdscmnd
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2622 . 2 (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2 eqidd 2622 . 2 (𝜑 → (+g𝑌) = (+g𝑌))
3 prdscmnd.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4 prdscmnd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
5 prdscmnd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
6 prdscmnd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶CMnd)
7 cmnmnd 18129 . . . . 5 (𝑎 ∈ CMnd → 𝑎 ∈ Mnd)
87ssriv 3587 . . . 4 CMnd ⊆ Mnd
9 fss 6013 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶CMnd ∧ CMnd ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
106, 8, 9sylancl 693 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
113, 4, 5, 10prdsmndd 17244 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Mnd)
1263ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
1312ffvelrnda 6315 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑅𝑐) ∈ CMnd)
14 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
15 elex 3198 . . . . . . . . 9 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
165, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ V)
17163ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
1817adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑆 ∈ V)
19 elex 3198 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑊𝐼 ∈ V)
204, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ V)
21203ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
2221adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝐼 ∈ V)
23 ffn 6002 . . . . . . . . 9 (𝑅:𝐼⟶CMnd → 𝑅 Fn 𝐼)
246, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
25243ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅 Fn 𝐼)
2625adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
27 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
28 simpr 477 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑐𝐼)
293, 14, 18, 22, 26, 27, 28prdsbasprj 16053 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑎𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)))
30 simpl3 1064 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
313, 14, 18, 22, 26, 30, 28prdsbasprj 16053 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑏𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)))
32 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(𝑅𝑐)) = (Base‘(𝑅𝑐))
33 eqid 2621 . . . . . 6 (+g‘(𝑅𝑐)) = (+g‘(𝑅𝑐))
3432, 33cmncom 18130 . . . . 5 (((𝑅𝑐) ∈ CMnd ∧ (𝑎𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐)) ∧ (𝑏𝑐) ∈ (Base‘(𝑅𝑐))) → ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐)) = ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐)))
3513, 29, 31, 34syl3anc 1323 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐𝐼) → ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐)) = ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐)))
3635mpteq2dva 4704 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑐𝐼 ↦ ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐))) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐))))
37 simp2 1060 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
38 simp3 1061 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
39 eqid 2621 . . . 4 (+g𝑌) = (+g𝑌)
403, 14, 17, 21, 25, 37, 38, 39prdsplusgval 16054 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑎𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑏𝑐))))
413, 14, 17, 21, 25, 38, 37, 39prdsplusgval 16054 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏(+g𝑌)𝑎) = (𝑐𝐼 ↦ ((𝑏𝑐)(+g‘(𝑅𝑐))(𝑎𝑐))))
4236, 40, 413eqtr4d 2665 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g𝑌)𝑏) = (𝑏(+g𝑌)𝑎))
431, 2, 11, 42iscmnd 18126 1 (𝜑𝑌 ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  wss 3555  cmpt 4673   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Xscprds 16027  Mndcmnd 17215  CMndccmn 18114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-cmn 18116
This theorem is referenced by:  prdsabld  18186  pwscmn  18187  prdsgsum  18298  prdscrngd  18534
  Copyright terms: Public domain W3C validator