Theorem prdscmnd 18980

Description: The product of a family of commutative monoids is commutative. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdscmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscmnd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdscmnd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdscmnd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)

Assertion

Ref	Expression
prdscmnd	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)

Proof of Theorem prdscmnd

Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌))
2		eqidd 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌))
3		prdscmnd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
4		prdscmnd.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdscmnd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
6		prdscmnd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
7		cmnmnd 18921	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ CMnd → 𝑎 ∈ Mnd)
8	7	ssriv 3970	. . . 4 ⊢ CMnd ⊆ Mnd
9		fss 6526	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶CMnd ∧ CMnd ⊆ Mnd) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
10	6, 8, 9	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
11	3, 4, 5, 10	prdsmndd 17943	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Mnd)
12	6	3ad2ant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅:𝐼⟶CMnd)
13	12	ffvelrnda 6850	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑐) ∈ CMnd)
14		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
15	5	elexd 3514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
16	15	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑆 ∈ V)
17	16	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑆 ∈ V)
18	4	elexd 3514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
19	18	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝐼 ∈ V)
20	19	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ V)
21	6	ffnd 6514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
22	21	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑅 Fn 𝐼)
23	22	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
24		simpl2 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
25		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑐 ∈ 𝐼)
26	3, 14, 17, 20, 23, 24, 25	prdsbasprj 16744	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑎‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)))
27		simpl3 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
28	3, 14, 17, 20, 23, 27, 25	prdsbasprj 16744	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → (𝑏‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)))
29		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑐)) = (Base‘(𝑅‘𝑐))
30		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝑅‘𝑐)) = (+g‘(𝑅‘𝑐))
31	29, 30	cmncom 18922	. . . . 5 ⊢ (((𝑅‘𝑐) ∈ CMnd ∧ (𝑎‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐)) ∧ (𝑏‘𝑐) ∈ (Base‘(𝑅‘𝑐))) → ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐)) = ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐)))
32	13, 26, 28, 31	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) → ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐)) = ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐)))
33	32	mpteq2dva 5160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐))) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐))))
34		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑌))
35		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑌))
36		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑌) = (+g‘𝑌)
37	3, 14, 16, 19, 22, 34, 35, 36	prdsplusgval 16745	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑎‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑏‘𝑐))))
38	3, 14, 16, 19, 22, 35, 34, 36	prdsplusgval 16745	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑏(+g‘𝑌)𝑎) = (𝑐 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑐)(+g‘(𝑅‘𝑐))(𝑎‘𝑐))))
39	33, 37, 38	3eqtr4d 2866	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑌) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑌)) → (𝑎(+g‘𝑌)𝑏) = (𝑏(+g‘𝑌)𝑎))
40	1, 2, 11, 39	iscmnd 18918	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935   ↦ cmpt 5145   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  +_gcplusg 16564  X_scprds 16718  Mndcmnd 17910  CMndccmn 18905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-prds 16720  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-cmn 18907

This theorem is referenced by:  prdsabld  18981  pwscmn  18982  prdsgsum  19100  prdscrngd  19362