MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdscrngd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdscrngd 18384
Description: A product of commutative rings is a commutative ring. Since the resulting ring will have zero divisors in all nontrivial cases, this cannot be strengthened much further. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdscrngd.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdscrngd.i (𝜑𝐼𝑊)
prdscrngd.s (𝜑𝑆𝑉)
prdscrngd.r (𝜑𝑅:𝐼⟶CRing)
Assertion
Ref Expression
prdscrngd (𝜑𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem prdscrngd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdscrngd.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdscrngd.i . . 3 (𝜑𝐼𝑊)
3 prdscrngd.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
4 prdscrngd.r . . . 4 (𝜑𝑅:𝐼⟶CRing)
5 crngring 18329 . . . . 5 (𝑥 ∈ CRing → 𝑥 ∈ Ring)
65ssriv 3571 . . . 4 CRing ⊆ Ring
7 fss 5954 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶CRing ∧ CRing ⊆ Ring) → 𝑅:𝐼⟶Ring)
84, 6, 7sylancl 692 . . 3 (𝜑𝑅:𝐼⟶Ring)
91, 2, 3, 8prdsringd 18383 . 2 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
10 eqid 2609 . . . 4 (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) = (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))
11 fnmgp 18262 . . . . . . 7 mulGrp Fn V
12 ssv 3587 . . . . . . 7 CRing ⊆ V
13 fnssres 5903 . . . . . . 7 ((mulGrp Fn V ∧ CRing ⊆ V) → (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing)
1411, 12, 13mp2an 703 . . . . . 6 (mulGrp ↾ CRing) Fn CRing
15 fvres 6101 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥))
16 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑥) = (mulGrp‘𝑥)
1716crngmgp 18326 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑥) ∈ CMnd)
1815, 17eqeltrd 2687 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ CRing → ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd)
1918rgen 2905 . . . . . 6 𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd
20 ffnfv 6279 . . . . . 6 ((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ↔ ((mulGrp ↾ CRing) Fn CRing ∧ ∀𝑥 ∈ CRing ((mulGrp ↾ CRing)‘𝑥) ∈ CMnd))
2114, 19, 20mpbir2an 956 . . . . 5 (mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd
22 fco2 5957 . . . . 5 (((mulGrp ↾ CRing):CRing⟶CMnd ∧ 𝑅:𝐼⟶CRing) → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
2321, 4, 22sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → (mulGrp ∘ 𝑅):𝐼⟶CMnd)
2410, 2, 3, 23prdscmnd 18035 . . 3 (𝜑 → (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd)
25 eqidd 2610 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(mulGrp‘𝑌)))
26 eqid 2609 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘𝑌)
27 ffn 5943 . . . . . . 7 (𝑅:𝐼⟶CRing → 𝑅 Fn 𝐼)
284, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
291, 26, 10, 2, 3, 28prdsmgp 18381 . . . . 5 (𝜑 → ((Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))) ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))))
3029simpld 473 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(mulGrp‘𝑌)) = (Base‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
3129simprd 477 . . . . 5 (𝜑 → (+g‘(mulGrp‘𝑌)) = (+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅))))
3231oveqdr 6550 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑌)))) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑌))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)))𝑦))
3325, 30, 32cmnpropd 17973 . . 3 (𝜑 → ((mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd ↔ (𝑆Xs(mulGrp ∘ 𝑅)) ∈ CMnd))
3424, 33mpbird 245 . 2 (𝜑 → (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd)
3526iscrng 18325 . 2 (𝑌 ∈ CRing ↔ (𝑌 ∈ Ring ∧ (mulGrp‘𝑌) ∈ CMnd))
369, 34, 35sylanbrc 694 1 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  wss 3539  cres 5029  ccom 5031   Fn wfn 5784  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  Xscprds 15877  CMndccmn 17964  mulGrpcmgp 18260  Ringcrg 18318  CRingccrg 18319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-sets 15649  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-hom 15741  df-cco 15742  df-0g 15873  df-prds 15879  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197  df-cmn 17966  df-mgp 18261  df-ring 18320  df-cring 18321
This theorem is referenced by:  pwscrng  18388
  Copyright terms: Public domain W3C validator