Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsidlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsidlem 17543
 Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsplusgcl.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsplusgcl.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsplusgcl.p + = (+g𝑌)
prdsplusgcl.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsplusgcl.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsplusgcl.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
prdsidlem.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsidlem (𝜑 → ( 0𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥, +   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hint:   0 (𝑥)

Proof of Theorem prdsidlem
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsidlem.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
2 fvexd 6365 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ V)
3 prdsplusgcl.r . . . . . 6 (𝜑𝑅:𝐼⟶Mnd)
43feqmptd 6412 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑅𝑦)))
5 fn0g 17483 . . . . . . 7 0g Fn V
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0g Fn V)
7 dffn5 6404 . . . . . 6 (0g Fn V ↔ 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g𝑥)))
86, 7sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → 0g = (𝑥 ∈ V ↦ (0g𝑥)))
9 fveq2 6353 . . . . 5 (𝑥 = (𝑅𝑦) → (0g𝑥) = (0g‘(𝑅𝑦)))
102, 4, 8, 9fmptco 6560 . . . 4 (𝜑 → (0g𝑅) = (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))))
111, 10syl5eq 2806 . . 3 (𝜑0 = (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))))
123ffvelrnda 6523 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Mnd)
13 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑦)) = (Base‘(𝑅𝑦))
14 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g‘(𝑅𝑦)) = (0g‘(𝑅𝑦))
1513, 14mndidcl 17529 . . . . . 6 ((𝑅𝑦) ∈ Mnd → (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
1612, 15syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
1716ralrimiva 3104 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐼 (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
18 prdsplusgcl.y . . . . 5 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
19 prdsplusgcl.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑌)
20 prdsplusgcl.s . . . . 5 (𝜑𝑆𝑉)
21 prdsplusgcl.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑊)
22 ffn 6206 . . . . . 6 (𝑅:𝐼⟶Mnd → 𝑅 Fn 𝐼)
233, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
2418, 19, 20, 21, 23prdsbasmpt 16352 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐼 (0g‘(𝑅𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))))
2517, 24mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ (0g‘(𝑅𝑦))) ∈ 𝐵)
2611, 25eqeltrd 2839 . 2 (𝜑0𝐵)
271fveq1i 6354 . . . . . . . . . 10 ( 0𝑦) = ((0g𝑅)‘𝑦)
28 fvco2 6436 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 Fn 𝐼𝑦𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
2923, 28sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3027, 29syl5eq 2806 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐼) → ( 0𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3130adantlr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ( 0𝑦) = (0g‘(𝑅𝑦)))
3231oveq1d 6829 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)))
333adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅:𝐼⟶Mnd)
3433ffvelrnda 6523 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Mnd)
3520ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑆𝑉)
3621ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝐼𝑊)
3723ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
38 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑥𝐵)
39 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
4018, 19, 35, 36, 37, 38, 39prdsbasprj 16354 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
41 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (+g‘(𝑅𝑦)) = (+g‘(𝑅𝑦))
4213, 41, 14mndlid 17532 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4334, 40, 42syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((0g‘(𝑅𝑦))(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4432, 43eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦)) = (𝑥𝑦))
4544mpteq2dva 4896 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐼 ↦ (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
4620adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑆𝑉)
4721adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐼𝑊)
4823adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑅 Fn 𝐼)
4926adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 0𝐵)
50 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
51 prdsplusgcl.p . . . . . 6 + = (+g𝑌)
5218, 19, 46, 47, 48, 49, 50, 51prdsplusgval 16355 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = (𝑦𝐼 ↦ (( 0𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(𝑥𝑦))))
5318, 19, 46, 47, 48, 50prdsbasfn 16353 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 Fn 𝐼)
54 dffn5 6404 . . . . . 6 (𝑥 Fn 𝐼𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
5553, 54sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥 = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
5645, 52, 553eqtr4d 2804 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 0 + 𝑥) = 𝑥)
5731oveq2d 6830 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦)) = ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))))
5813, 41, 14mndrid 17533 . . . . . . . 8 (((𝑅𝑦) ∈ Mnd ∧ (𝑥𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))) = (𝑥𝑦))
5934, 40, 58syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))(0g‘(𝑅𝑦))) = (𝑥𝑦))
6057, 59eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦)) = (𝑥𝑦))
6160mpteq2dva 4896 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦))) = (𝑦𝐼 ↦ (𝑥𝑦)))
6218, 19, 46, 47, 48, 50, 49, 51prdsplusgval 16355 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = (𝑦𝐼 ↦ ((𝑥𝑦)(+g‘(𝑅𝑦))( 0𝑦))))
6361, 62, 553eqtr4d 2804 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 + 0 ) = 𝑥)
6456, 63jca 555 . . 3 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
6564ralrimiva 3104 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥))
6626, 65jca 555 1 (𝜑 → ( 0𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 (( 0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0 ) = 𝑥)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  Vcvv 3340   ↦ cmpt 4881   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  0gc0g 16322  Xscprds 16328  Mndcmnd 17515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-hom 16188  df-cco 16189  df-0g 16324  df-prds 16330  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516 This theorem is referenced by:  prdsmndd  17544  prds0g  17545
 Copyright terms: Public domain W3C validator