MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsinvlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsinvlem 17295
Description: Characterization of inverses in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsinvlem.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsinvlem.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsinvlem.p + = (+g𝑌)
prdsinvlem.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsinvlem.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsinvlem.r (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
prdsinvlem.f (𝜑𝐹𝐵)
prdsinvlem.z 0 = (0g𝑅)
prdsinvlem.n 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
prdsinvlem (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝐹   𝑦,𝐼   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   + (𝑦)   𝑁(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem prdsinvlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsinvlem.n . . 3 𝑁 = (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)))
2 prdsinvlem.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅:𝐼⟶Grp)
32ffvelrnda 6251 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝑅𝑦) ∈ Grp)
4 prdsinvlem.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
5 prdsinvlem.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
6 prdsinvlem.s . . . . . . . 8 (𝜑𝑆𝑉)
76adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑆𝑉)
8 prdsinvlem.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑊)
98adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐼𝑊)
10 ffn 5943 . . . . . . . . 9 (𝑅:𝐼⟶Grp → 𝑅 Fn 𝐼)
112, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
1211adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
13 prdsinvlem.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹𝐵)
1413adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝐹𝐵)
15 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐼) → 𝑦𝐼)
164, 5, 7, 9, 12, 14, 15prdsbasprj 15903 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
17 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑦)) = (Base‘(𝑅𝑦))
18 eqid 2609 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑦))
1917, 18grpinvcl 17238 . . . . . 6 (((𝑅𝑦) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑦) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
203, 16, 19syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐼) → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
2120ralrimiva 2948 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦)))
224, 5, 6, 8, 11prdsbasmpt 15901 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑦𝐼 ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) ∈ (Base‘(𝑅𝑦))))
2321, 22mpbird 245 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐼 ↦ ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦))) ∈ 𝐵)
241, 23syl5eqel 2691 . 2 (𝜑𝑁𝐵)
252ffvelrnda 6251 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑅𝑥) ∈ Grp)
266adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆𝑉)
278adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑊)
2811adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 Fn 𝐼)
2913adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐹𝐵)
30 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
314, 5, 26, 27, 28, 29, 30prdsbasprj 15903 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥)))
32 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅𝑥)) = (Base‘(𝑅𝑥))
33 eqid 2609 . . . . . . 7 (+g‘(𝑅𝑥)) = (+g‘(𝑅𝑥))
34 eqid 2609 . . . . . . 7 (0g‘(𝑅𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥))
35 eqid 2609 . . . . . . 7 (invg‘(𝑅𝑥)) = (invg‘(𝑅𝑥))
3632, 33, 34, 35grplinv 17239 . . . . . 6 (((𝑅𝑥) ∈ Grp ∧ (𝐹𝑥) ∈ (Base‘(𝑅𝑥))) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
3725, 31, 36syl2anc 690 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
38 fveq2 6087 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑥))
3938fveq2d 6091 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (invg‘(𝑅𝑦)) = (invg‘(𝑅𝑥)))
40 fveq2 6087 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
4139, 40fveq12d 6093 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((invg‘(𝑅𝑦))‘(𝐹𝑦)) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
42 fvex 6097 . . . . . . . 8 ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)) ∈ V
4341, 1, 42fvmpt 6175 . . . . . . 7 (𝑥𝐼 → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4443adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑁𝑥) = ((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥)))
4544oveq1d 6541 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = (((invg‘(𝑅𝑥))‘(𝐹𝑥))(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)))
46 prdsinvlem.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
4746fveq1i 6088 . . . . . 6 ( 0𝑥) = ((0g𝑅)‘𝑥)
48 fvco2 6167 . . . . . . 7 ((𝑅 Fn 𝐼𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
4911, 48sylan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((0g𝑅)‘𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
5047, 49syl5eq 2655 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐼) → ( 0𝑥) = (0g‘(𝑅𝑥)))
5137, 45, 503eqtr4d 2653 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥)) = ( 0𝑥))
5251mpteq2dva 4666 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
53 prdsinvlem.p . . . 4 + = (+g𝑌)
544, 5, 6, 8, 11, 24, 13, 53prdsplusgval 15904 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑁𝑥)(+g‘(𝑅𝑥))(𝐹𝑥))))
55 fn0g 17033 . . . . . . 7 0g Fn V
5655a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0g Fn V)
57 ssv 3587 . . . . . . 7 ran 𝑅 ⊆ V
5857a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝑅 ⊆ V)
59 fnco 5898 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ 𝑅 Fn 𝐼 ∧ ran 𝑅 ⊆ V) → (0g𝑅) Fn 𝐼)
6056, 11, 58, 59syl3anc 1317 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) Fn 𝐼)
6146fneq1i 5884 . . . . 5 ( 0 Fn 𝐼 ↔ (0g𝑅) Fn 𝐼)
6260, 61sylibr 222 . . . 4 (𝜑0 Fn 𝐼)
63 dffn5 6135 . . . 4 ( 0 Fn 𝐼0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6462, 63sylib 206 . . 3 (𝜑0 = (𝑥𝐼 ↦ ( 0𝑥)))
6552, 54, 643eqtr4d 2653 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 𝐹) = 0 )
6624, 65jca 552 1 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ (𝑁 + 𝐹) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  Vcvv 3172  wss 3539  cmpt 4637  ran crn 5028  ccom 5031   Fn wfn 5784  wf 5785  cfv 5789  (class class class)co 6526  Basecbs 15643  +gcplusg 15716  0gc0g 15871  Xscprds 15877  Grpcgrp 17193  invgcminusg 17194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-7 10933  df-8 10934  df-9 10935  df-n0 11142  df-z 11213  df-dec 11328  df-uz 11522  df-fz 12155  df-struct 15645  df-ndx 15646  df-slot 15647  df-base 15648  df-plusg 15729  df-mulr 15730  df-sca 15732  df-vsca 15733  df-ip 15734  df-tset 15735  df-ple 15736  df-ds 15739  df-hom 15741  df-cco 15742  df-0g 15873  df-prds 15879  df-mgm 17013  df-sgrp 17055  df-mnd 17066  df-grp 17196  df-minusg 17197
This theorem is referenced by:  prdsgrpd  17296  prdsinvgd  17297
  Copyright terms: Public domain W3C validator