Theorem prdstps 22239

Description: A structure product of topological spaces is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdstopn.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdstopn.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstopn.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdstps.r	⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)

Assertion

Ref	Expression
prdstps	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

Proof of Theorem prdstps

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdstopn.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
2		prdstps.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶TopSp)
3	2	ffvelrnda 6853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑅‘𝑥) ∈ TopSp)
4		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅‘𝑥)) = (Base‘(𝑅‘𝑥))
5		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) = (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))
6	4, 5	istps 21544	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅‘𝑥) ∈ TopSp ↔ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
7	3, 6	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
8	7	ralrimiva 3184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥))))
9		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
10	9	pttopon 22206	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)) ∈ (TopOn‘(Base‘(𝑅‘𝑥)))) → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
11	1, 8, 10	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))) ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
12		prdstopn.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
13		prdstopn.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
14		fex 6991	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶TopSp ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
15	2, 1, 14	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
16		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17	2	fdmd 6525	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
18		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘𝑌) = (TopSet‘𝑌)
19	12, 13, 15, 16, 17, 18	prdstset 16741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)))
20		topnfn 16701	. . . . . . 7 ⊢ TopOpen Fn V
21		dffn2 6518	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen Fn V ↔ TopOpen:V⟶V)
22	20, 21	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ TopOpen:V⟶V
23		ssv 3993	. . . . . . 7 ⊢ TopSp ⊆ V
24		fss 6529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶TopSp ∧ TopSp ⊆ V) → 𝑅:𝐼⟶V)
25	2, 23, 24	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅:𝐼⟶V)
26		fcompt 6897	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen:V⟶V ∧ 𝑅:𝐼⟶V) → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
27	22, 25, 26	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen ∘ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥))))
28	27	fveq2d 6676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∏t‘(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
29	19, 28	eqtrd 2858	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (TopOpen‘(𝑅‘𝑥)))))
30	12, 13, 15, 16, 17	prdsbas 16732	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥)))
31	30	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOn‘(Base‘𝑌)) = (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘(𝑅‘𝑥))))
32	11, 29, 31	3eltr4d 2930	. 2 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)))
33	16, 18	tsettps 21551	. 2 ⊢ ((TopSet‘𝑌) ∈ (TopOn‘(Base‘𝑌)) → 𝑌 ∈ TopSp)
34	32, 33	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938   ↦ cmpt 5148   ∘ ccom 5561   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Xcixp 8463  Basecbs 16485  TopSetcts 16573  TopOpenctopn 16697  ∏_tcpt 16714  X_scprds 16721  TopOnctopon 21520  TopSpctps 21542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fi 8877  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556

This theorem is referenced by:  pwstps  22240  xpstps  22420  prdstmdd  22734