Theorem pre-axsup 5263

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 25 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version with ordering on extended reals is axsup 5479.

Assertion

Ref	Expression
pre-axsup	⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem pre-axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (A ⊆ ℝ → (y ∈ A → y ∈ ℝ))
2	1	imim1d 28	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) → (y ∈ A → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y))))
3		pm2.43 63	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ A → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y))
4	2, 3	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)))
5	4	19.20dv 1284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) → ∀y(y ∈ A → ¬ x <ℝ y)))
6		df-ral 1641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ↔ ∀y(y ∈ A → ¬ x <ℝ y))
7	5, 6	syl6ibr 213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) → ∀y ∈ A ¬ x <ℝ y))
8		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)) → (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))
9	8	19.22i 1036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)) → ∃z(z ∈ A ⋀ y <ℝ z))
10		df-rex 1642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃z ∈ A y <ℝ z ↔ ∃z(z ∈ A ⋀ y <ℝ z))
11	9, 10	sylibr 200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)) → ∃z ∈ A y <ℝ z)
12	11	imim2i 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))) → (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))
13	12	imim2i 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)))) → (y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
14	13	19.20i 989	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)))) → ∀y(y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
15		df-ral 1641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z) ↔ ∀y(y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
16	14, 15	sylibr 200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)))) → ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))
17	16	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)))) → ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
18	7, 17	anim12d 556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))) → (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
19		jcab 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x <ℝ y) ⋀ (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))) ↔ ((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) ⋀ (y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))))
20	19	albii 996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x <ℝ y) ⋀ (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))) ↔ ∀y((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) ⋀ (y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))))
21		19.26 1063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀y((y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) ⋀ (y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))) ↔ (∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))))
22	20, 21	bitr 173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x <ℝ y) ⋀ (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))) ↔ (∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → ¬ x <ℝ y)) ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))))
23	18, 22	syl5ib 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x <ℝ y) ⋀ (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z))))) → (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
24	23	anim2d 559	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ⊆ ℝ → ((x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x <ℝ y) ⋀ (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)))))) → (x ∈ ℝ ⋀ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))))
25	24	19.22dv 1285	. . . . . . . 8 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x <ℝ y) ⋀ (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)))))) → ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))))
26		df-rex 1642	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)) ↔ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
27	25, 26	syl6ibr 213	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x <ℝ y) ⋀ (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)))))) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
28	27	adantr 389	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) → (∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x <ℝ y) ⋀ (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)))))) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
29		opeq1 2478	. . . . . . . . 9 ⊢ (v = w → ⟨v, 0R⟩ = ⟨w, 0R⟩)
30	29	eleq1d 1532	. . . . . . . 8 ⊢ (v = w → (⟨v, 0R⟩ ∈ A ↔ ⟨w, 0R⟩ ∈ A))
31	30	cbvabv 1900	. . . . . . 7 ⊢ {v∣⟨v, 0R⟩ ∈ A} = {w∣⟨w, 0R⟩ ∈ A}
32	31	supre 5232	. . . . . 6 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) ⋀ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y <ℝ x)))) → ∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → ((y ∈ A → ¬ x <ℝ y) ⋀ (y <ℝ x → ∃z(z ∈ ℝ ⋀ (z ∈ A ⋀ y <ℝ z)))))))
33	28, 32	syl5 21	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) → (((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) ⋀ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y <ℝ x)))) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
34	33	anabsi5 494	. . . 4 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) ⋀ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y <ℝ x)))) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
35		df-rex 1642	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x ↔ ∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y ∈ A y <ℝ x))
36		df-ral 1641	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y ∈ A y <ℝ x ↔ ∀y(y ∈ A → y <ℝ x))
37		ax-1 4	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ A → y <ℝ x) → (y ∈ ℝ → (y ∈ A → y <ℝ x)))
38	37	19.20i 989	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y(y ∈ A → y <ℝ x) → ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y <ℝ x)))
39	36, 38	sylbi 199	. . . . . . 7 ⊢ (∀y ∈ A y <ℝ x → ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y <ℝ x)))
40	39	anim2i 335	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ ∀y ∈ A y <ℝ x) → (x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y <ℝ x))))
41	40	19.22i 1036	. . . . 5 ⊢ (∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y ∈ A y <ℝ x) → ∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y <ℝ x))))
42	35, 41	sylbi 199	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x → ∃x(x ∈ ℝ ⋀ ∀y(y ∈ ℝ → (y ∈ A → y <ℝ x))))
43	34, 42	sylan2 451	. . 3 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅) ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
44		df-ne 1579	. . . 4 ⊢ (A ≠ ∅ ↔ ¬ A = ∅)
45	44	anbi2i 479	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) ↔ (A ⊆ ℝ ⋀ ¬ A = ∅))
46	43, 45	sylanb 449	. 2 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
47	46	3impa 826	1 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 773  ∀wal 951   = wceq 953   ∈ wcel 955  ∃wex 977  {cab 1456   ≠ wne 1577  ∀wral 1637  ∃wrex 1638   ⊆ wss 2037  ∅c0 2270  ⟨cop 2401   class class class wbr 2609  0_Rc0r 4966  ℝcr 5205   <_ℝ cltrr 5210

This theorem is referenced by:  axsup 5479

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-r 5216  df-lt 5219

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