MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  predpo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem predpo 6159
Description: Property of the precessor class for partial orderings. (Contributed by Scott Fenton, 28-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
predpo ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))

Proof of Theorem predpo
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 predel 6158 . 2 (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → 𝑌𝐴)
2 elpredg 6155 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
32adantll 710 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ 𝑌𝑅𝑋))
4 potr 5479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑧𝐴𝑌𝐴𝑋𝐴)) → ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋))
543exp2 1346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 Po 𝐴 → (𝑧𝐴 → (𝑌𝐴 → (𝑋𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
65com24 95 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 Po 𝐴 → (𝑋𝐴 → (𝑌𝐴 → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))))
76imp31 418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝐴 → ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → 𝑧𝑅𝑋)))
87com13 88 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑅𝑌𝑌𝑅𝑋) → (𝑧𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → 𝑧𝑅𝑋)))
98ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝑅𝑌 → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧𝐴 → (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → 𝑧𝑅𝑋))))
109com14 96 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌𝑅𝑋 → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋))))
113, 10sylbid 241 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋))))
1211ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌𝐴 → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋)))))
1312com23 86 . . . . . . 7 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌𝐴 → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋)))))
14133imp 1103 . . . . . 6 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑧𝑅𝑌𝑧𝑅𝑋)))
1514imdistand 571 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → ((𝑧𝐴𝑧𝑅𝑌) → (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑋)))
16 vex 3495 . . . . . . 7 𝑧 ∈ V
1716elpred 6154 . . . . . 6 (𝑌𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑌)))
18173ad2ant3 1127 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑌)))
1916elpred 6154 . . . . . . 7 (𝑋𝐴 → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑋)))
2019adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑋)))
21203ad2ant1 1125 . . . . 5 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑅𝑋)))
2215, 18, 213imtr4d 295 . . . 4 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → (𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) → 𝑧 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
2322ssrdv 3970 . . 3 (((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) ∧ 𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) ∧ 𝑌𝐴) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))
24233exp 1111 . 2 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → (𝑌𝐴 → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
251, 24mpdi 45 1 ((𝑅 Po 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 ∈ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋) → Pred(𝑅, 𝐴, 𝑌) ⊆ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057   Po wpo 5465  Predcpred 6140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-br 5058  df-opab 5120  df-po 5467  df-xp 5554  df-cnv 5556  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141
This theorem is referenced by:  predso  6160  trpredpo  32971
  Copyright terms: Public domain W3C validator