Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  preimageiingt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem preimageiingt 40224
Description: A preimage of a left-closed, unbounded above interval, expressed as an indexed intersection of preimages of open, unbounded above intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
preimageiingt.x 𝑥𝜑
preimageiingt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
preimageiingt.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
preimageiingt (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝜑,𝑛   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem preimageiingt
StepHypRef Expression
1 preimageiingt.x . . . 4 𝑥𝜑
2 simpllr 798 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥𝐴)
3 preimageiingt.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ)
5 nnrecre 11002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
65adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 10403 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
87rexrd 10034 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
98ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
103rexrd 10034 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
1110ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℝ*)
12 preimageiingt.b . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14 nnrp 11786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
15 rpreccl 11801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
184, 17ltsubrpd 11848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
1918ad4ant14 1290 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐶)
20 simplr 791 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶𝐵)
219, 11, 13, 19, 20xrltletrd 11936 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
222, 21jca 554 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
23 rabid 3111 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵))
2422, 23sylibr 224 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
2524ralrimiva 2965 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
26 vex 3194 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
27 eliin 4496 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
2925, 28sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝐶𝐵) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
3029ex 450 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
3130ex 450 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})))
321, 31ralrimi 2956 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
33 nfcv 2767 . . . . 5 𝑥
34 nfrab1 3116 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
3533, 34nfiin 4520 . . . 4 𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
3635rabssf 38776 . . 3 ({𝑥𝐴𝐶𝐵} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐶𝐵𝑥 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}))
3732, 36sylibr 224 . 2 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} ⊆ 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
38 nnn0 39046 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
39 iinrab 4553 . . . . 5 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
4038, 39ax-mp 5 . . . 4 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵}
4140a1i 11 . . 3 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} = {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
428ad4ant13 1289 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
4312ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
4542, 43, 44xrltled 38937 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
4645ex 450 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
4746ralimdva 2961 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
4847imp 445 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵)
49 nfv 1845 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥𝐴)
50 nfra1 2941 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵
5149, 50nfan 1830 . . . . . . . . 9 𝑛((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵)
523ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
5312adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5451, 52, 53xrralrecnnge 39064 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → (𝐶𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) ≤ 𝐵))
5548, 54mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵) → 𝐶𝐵)
5655ex 450 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵))
5756ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵)))
581, 57ralrimi 2956 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵))
59 ss2rab 3662 . . . 4 ({𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐶𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵𝐶𝐵))
6058, 59sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐶𝐵})
6141, 60eqsstrd 3623 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵} ⊆ {𝑥𝐴𝐶𝐵})
6237, 61eqssd 3605 1 (𝜑 → {𝑥𝐴𝐶𝐵} = 𝑛 ∈ ℕ {𝑥𝐴 ∣ (𝐶 − (1 / 𝑛)) < 𝐵})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3191  wss 3560  c0 3896   ciin 4491   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cr 9880  1c1 9882  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-fl 12530
This theorem is referenced by:  salpreimagtge  40228
  Copyright terms: Public domain W3C validator