Theorem preimaiocmnf 41844

Description: Preimage of a right-closed interval, unbounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
preimaiocmnf.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
preimaiocmnf.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
preimaiocmnf	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Proof of Theorem preimaiocmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preimaiocmnf.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6517	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		fncnvima2 6833	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)})
5		mnfxr 10700	. . . . . . . 8 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → -∞ ∈ ℝ*)
7		preimaiocmnf.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
10	6, 8, 9	iocleubd 41842	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
11	10	ex 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
12	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
13	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ ∈ ℝ*)
14	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
15	14	adantlr 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
16	1	ffvelrnda 6853	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
17	16	rexrd 10693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
18	17	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
19	16	mnfltd 12522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
20	19	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → -∞ < (𝐹‘𝑥))
21		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵)
22	13, 15, 18, 20, 21	eliocd 41790	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵) → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵))
23	22	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵 → (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)))
24	12, 23	impbid 214	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵))
25	24	rabbidva 3480	. 2 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,]𝐵)} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})
26	4, 25	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,]𝐵)) = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝐵})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144   class class class wbr 5068  ^◡ccnv 5556   “ cima 5560   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   ≤ cle 10678  (,]cioc 12742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-ioc 12746

This theorem is referenced by:  issmfle2d  43090