MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prime Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prime 12051
Description: Two ways to express "𝐴 is a prime number (or 1)." See also isprm 16005. (Contributed by NM, 4-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
prime (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem prime
StepHypRef Expression
1 bi2.04 389 . . . 4 ((𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
2 impexp 451 . . . 4 (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥 = 𝐴)))
3 neor 3105 . . . . 5 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴) ↔ (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴))
43imbi2i 337 . . . 4 (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 ≠ 1 → 𝑥 = 𝐴)))
51, 2, 43bitr4ri 305 . . 3 (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴))
6 nngt1ne1 11654 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → (1 < 𝑥𝑥 ≠ 1))
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 < 𝑥𝑥 ≠ 1))
87anbi1d 629 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
9 nnz 11992 . . . . . . . . 9 ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
10 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
11 gtndiv 12047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 < 𝑥) → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ)
12113expia 1113 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
1310, 12sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝑥 → ¬ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ))
1413con2d 136 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → ¬ 𝐴 < 𝑥))
15 nnre 11633 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
16 lenlt 10707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
1710, 15, 16syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑥))
1814, 17sylibrd 260 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥𝐴))
1918ancoms 459 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℤ → 𝑥𝐴))
209, 19syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → 𝑥𝐴))
2120pm4.71rd 563 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2221anbi2d 628 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ))))
23 3anass 1087 . . . . . 6 ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥 ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2422, 23syl6bbr 290 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑥 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
258, 24bitr3d 282 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) ↔ (1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ)))
2625imbi1d 343 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝑥 ≠ 1 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴) ↔ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
275, 26syl5bb 284 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
2827ralbidva 3193 1 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ ((𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ → (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ ((1 < 𝑥𝑥𝐴 ∧ (𝐴 / 𝑥) ∈ ℕ) → 𝑥 = 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  cn 11626  cz 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970
This theorem is referenced by:  infpnlem1  16234
  Copyright terms: Public domain W3C validator