MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prinfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prinfzo0 12622
Description: The intersection of a half-open integer range and the pair of its outer left borders is empty. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
prinfzo0 (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem prinfzo0
StepHypRef Expression
1 elfz3 12465 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
2 fznuz 12536 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
433mix1d 1373 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
5 3ianor 1096 . . . . 5 (¬ (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
6 elfzo2 12588 . . . . 5 (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
75, 6xchnxbir 322 . . . 4 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
84, 7sylibr 224 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
9 incom 3913 . . . . 5 ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀})
109eqeq1i 2729 . . . 4 (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
11 disjsn 4353 . . . 4 ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
1210, 11bitri 264 . . 3 (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
138, 12sylibr 224 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
14 fzonel 12598 . . . 4 ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)
1514a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
16 incom 3913 . . . . 5 ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁})
1716eqeq1i 2729 . . . 4 (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
18 disjsn 4353 . . . 4 ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
1917, 18bitri 264 . . 3 (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
2015, 19sylibr 224 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
21 df-pr 4288 . . . . 5 {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
2221ineq1i 3918 . . . 4 ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
2322eqeq1i 2729 . . 3 (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
24 undisj1 4137 . . 3 ((({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅) ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
2523, 24bitr4i 267 . 2 (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅))
2613, 20, 25sylanbrc 701 1 (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3o 1071  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  cun 3678  cin 3679  c0 4023  {csn 4285  {cpr 4287   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  1c1 10050   + caddc 10052   < clt 10187  cz 11490  cuz 11800  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581
This theorem is referenced by:  spthispth  26753
  Copyright terms: Public domain W3C validator