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Theorem prlem934 9893
 Description: Lemma 9-3.4 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 11-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
prlem934.1 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
prlem934 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem934
Dummy variables 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prn0 9849 . . . . 5 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
2 r19.2z 4093 . . . . . 6 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
32ex 449 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
5 prpssnq 9850 . . . . . . . . 9 (𝐴P𝐴Q)
65pssssd 3737 . . . . . . . 8 (𝐴P𝐴Q)
76sseld 3635 . . . . . . 7 (𝐴P → ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q))
8 addnqf 9808 . . . . . . . . . 10 +Q :(Q × Q)⟶Q
98fdmi 6090 . . . . . . . . 9 dom +Q = (Q × Q)
10 0nnq 9784 . . . . . . . . 9 ¬ ∅ ∈ Q
119, 10ndmovrcl 6862 . . . . . . . 8 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q → (𝑥Q𝐵Q))
1211simprd 478 . . . . . . 7 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ Q𝐵Q)
137, 12syl6com 37 . . . . . 6 ((𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1413rexlimivw 3058 . . . . 5 (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → (𝐴P𝐵Q))
1514com12 32 . . . 4 (𝐴P → (∃𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴𝐵Q))
16 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑥 +Q 𝐵))
1716eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1817ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐵 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1918notbid 307 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
2019imbi2d 329 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
21 dfpss2 3725 . . . . . . . . . . 11 (𝐴Q ↔ (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
225, 21sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝐴P → (𝐴Q ∧ ¬ 𝐴 = Q))
2322simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝐴P → ¬ 𝐴 = Q)
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ 𝐴 = Q)
2563ad2ant1 1102 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴Q)
26 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝐴P)
27 n0 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
281, 27sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴P → ∃𝑦 𝑦𝐴)
2926, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
30 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤Q)
31 simpl2 1085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑏Q)
32 recclnq 9826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏Q → (*Q𝑏) ∈ Q)
33 mulclnq 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q)
34 archnq 9840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) ∈ Q → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤Q ∧ (*Q𝑏) ∈ Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
3632, 35sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑤Q𝑏Q) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
3730, 31, 36syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → ∃𝑧N (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
38 simpll2 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑏Q)
39 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑤Q)
40 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)
41 ltmnq 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩ ↔ (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1𝑜⟩)))
42 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑏 ∈ V
43 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑤 ∈ V
44 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (*Q𝑏) ∈ V
45 mulcomnq 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 ·Q 𝑥) = (𝑥 ·Q 𝑣)
46 mulassnq 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑣 ·Q 𝑥) ·Q 𝑦) = (𝑣 ·Q (𝑥 ·Q 𝑦))
4742, 43, 44, 45, 46caov12 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏)))
48 mulcomnq 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 ·Q𝑧, 1𝑜⟩) = (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)
4947, 48breq12i 4694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ·Q (𝑤 ·Q (*Q𝑏))) <Q (𝑏 ·Q𝑧, 1𝑜⟩) ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
5041, 49syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏Q → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩ ↔ (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
52 recidnq 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏Q → (𝑏 ·Q (*Q𝑏)) = 1Q)
5352oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏Q → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = (𝑤 ·Q 1Q))
54 mulidnq 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤Q → (𝑤 ·Q 1Q) = 𝑤)
5553, 54sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏Q𝑤Q) → (𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) = 𝑤)
5655breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (𝑏 ·Q (*Q𝑏))) <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
5751, 56bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑏Q𝑤Q) → ((𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩ ↔ 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
5857biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑏Q𝑤Q) ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
5938, 39, 40, 58syl21anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
60 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑧N)
61 pinq 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧N → ⟨𝑧, 1𝑜⟩ ∈ Q)
62 mulclnq 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ∈ Q𝑏Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6361, 62sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
6460, 38, 63syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q)
65 simpll1 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝐴P)
66 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑦𝐴)
67 elprnq 9851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐴P𝑦𝐴) → 𝑦Q)
6865, 66, 67syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑦Q)
69 ltaddnq 9834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) <Q ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦))
70 addcomnq 9811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑦) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
7169, 70syl6breq 4726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
7264, 68, 71syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
73 ltsonq 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 <Q Or Q
74 ltrelnq 9786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 <Q ⊆ (Q × Q)
7573, 74sotri 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑤 <Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) ∧ (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
7659, 72, 75syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
77 simpll3 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
78 opeq1 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑤 = 1𝑜 → ⟨𝑤, 1𝑜⟩ = ⟨1𝑜, 1𝑜⟩)
79 df-1nq 9776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1Q = ⟨1𝑜, 1𝑜
8078, 79syl6eqr 2703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 1𝑜 → ⟨𝑤, 1𝑜⟩ = 1Q)
8180oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 1𝑜 → (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) = (1Q ·Q 𝑏))
8281oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 1𝑜 → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)))
8382eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 1𝑜 → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8483imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 1𝑜 → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
85 opeq1 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑧 → ⟨𝑤, 1𝑜⟩ = ⟨𝑧, 1𝑜⟩)
8685oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑧 → (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) = (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
8786oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑧 → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
8887eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
8988imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 𝑧 → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
90 opeq1 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → ⟨𝑤, 1𝑜⟩ = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
9190oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
9291oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
9392eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → ((𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
9493imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = (𝑧 +N 1𝑜) → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑤, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) ↔ ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
95 mulcomnq 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1Q ·Q 𝑏) = (𝑏 ·Q 1Q)
96 mulidnq 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏Q → (𝑏 ·Q 1Q) = 𝑏)
9795, 96syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏Q → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
98 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 +Q 𝑏) = (𝑦 +Q 𝑏))
9998eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
10099rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
101 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) = (𝑦 +Q 𝑏))
102101eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 → ((𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
103102biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1Q ·Q 𝑏) = 𝑏 ∧ (𝑦 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
10497, 100, 103syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏Q ∧ (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
1051043impb 1279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (1Q ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
106 3simpa 1078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
107 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) → (𝑥 +Q 𝑏) = ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏))
108107eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
109108rspccva 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
110 addassnq 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
111 opex 4962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑧, 1𝑜⟩ ∈ V
112 1nq 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1QQ
113112elexi 3244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1Q ∈ V
114 distrnq 9821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑣 ·Q (𝑥 +Q 𝑦)) = ((𝑣 ·Q 𝑥) +Q (𝑣 ·Q 𝑦))
115111, 113, 42, 45, 114caovdir 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)))
117 addpqnq 9798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ∈ Q ∧ 1QQ) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q)))
11861, 112, 117sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) = ([Q]‘(⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q)))
11979oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q) = (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ ⟨1𝑜, 1𝑜⟩)
120 1pi 9743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1𝑜N
121 addpipq 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑧N ∧ 1𝑜N) ∧ (1𝑜N ∧ 1𝑜N)) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ ⟨1𝑜, 1𝑜⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩)
122120, 120, 121mpanr12 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ ⟨1𝑜, 1𝑜⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩)
123120, 122mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ ⟨1𝑜, 1𝑜⟩) = ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩)
124119, 123syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q) = ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩)
125 mulidpi 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧N → (𝑧 ·N 1𝑜) = 𝑧)
126 mulidpi 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (1𝑜N → (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜)
127120, 126mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑧N → (1𝑜 ·N 1𝑜) = 1𝑜)
128125, 127oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑧N → ((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)) = (𝑧 +N 1𝑜))
129128, 127opeq12d 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧N → ⟨((𝑧 ·N 1𝑜) +N (1𝑜 ·N 1𝑜)), (1𝑜 ·N 1𝑜)⟩ = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
130124, 129eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
131130fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → ([Q]‘(⟨𝑧, 1𝑜⟩ +pQ 1Q)) = ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩))
132 addclpi 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑧N ∧ 1𝑜N) → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
133120, 132mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧N → (𝑧 +N 1𝑜) ∈ N)
134 pinq 9787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑧 +N 1𝑜) ∈ N → ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ Q)
135 nqerid 9793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ∈ Q → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
136133, 134, 1353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧N → ([Q]‘⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
137118, 131, 1363eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧N → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
138137adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑧N𝑏Q) → (⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) = ⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩)
139138oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ +Q 1Q) ·Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
14097adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑧N𝑏Q) → (1Q ·Q 𝑏) = 𝑏)
141140oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q (1Q ·Q 𝑏)) = ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏))
142116, 139, 1413eqtr3rd 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧N𝑏Q) → ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏) = (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏))
143142oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧N𝑏Q) → (𝑦 +Q ((⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏) +Q 𝑏)) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
144110, 143syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧N𝑏Q) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) = (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)))
145144eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧N𝑏Q) → (((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
146109, 145syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑧N𝑏Q) → ((∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
147146expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑧N𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
148147expimpd 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
149106, 148syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → ((𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
150149a2d 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧N → (((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨(𝑧 +N 1𝑜), 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)))
15184, 89, 94, 89, 105, 150indpi 9767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧N → ((𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴))
152151imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧N ∧ (𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝑦𝐴)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
15360, 38, 77, 66, 152syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴)
154 prcdnq 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) ∈ 𝐴) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15565, 153, 154syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → (𝑤 <Q (𝑦 +Q (⟨𝑧, 1𝑜⟩ ·Q 𝑏)) → 𝑤𝐴))
15676, 155mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) ∧ (𝑧N ∧ (𝑤 ·Q (*Q𝑏)) <Q𝑧, 1𝑜⟩)) → 𝑤𝐴)
15737, 156rexlimddv 3064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ (𝑤Q𝑦𝐴)) → 𝑤𝐴)
158157expr 642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (𝑦𝐴𝑤𝐴))
159158exlimdv 1901 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → (∃𝑦 𝑦𝐴𝑤𝐴))
16029, 159mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) ∧ 𝑤Q) → 𝑤𝐴)
161160ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → (𝑤Q𝑤𝐴))
162161ssrdv 3642 . . . . . . . . . 10 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → Q𝐴)
16325, 162eqssd 3653 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑏Q ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴) → 𝐴 = Q)
1641633expia 1286 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑏Q) → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴𝐴 = Q))
16524, 164mtod 189 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑏Q) → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴)
166165expcom 450 . . . . . 6 (𝑏Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝑏) ∈ 𝐴))
16720, 166vtoclga 3303 . . . . 5 (𝐵Q → (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
168167com12 32 . . . 4 (𝐴P → (𝐵Q → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1694, 15, 1683syld 60 . . 3 (𝐴P → (∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴))
170169pm2.01d 181 . 2 (𝐴P → ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
171 rexnal 3024 . 2 (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴 ↔ ¬ ∀𝑥𝐴 (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
172170, 171sylibr 224 1 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝐵) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   ⊊ wpss 3608  ∅c0 3948  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598  Ncnpi 9704   +N cpli 9705   ·N cmi 9706   +pQ cplpq 9708  Qcnq 9712  1Qc1q 9713  [Q]cerq 9714   +Q cplq 9715   ·Q cmq 9716  *Qcrq 9717
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