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Theorem prlem936 10457
Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prlem936 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem936
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 10336 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 5610 . . . 4 (1Q <Q 𝐵 → (1QQ𝐵Q))
32simprd 496 . . 3 (1Q <Q 𝐵𝐵Q)
43adantl 482 . 2 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → 𝐵Q)
5 breq2 5061 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (1Q <Q 𝑏 ↔ 1Q <Q 𝐵))
65anbi2d 628 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ↔ (𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵)))
7 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑥 ·Q 𝐵))
87eleq1d 2894 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
98notbid 319 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
109rexbidv 3294 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
116, 10imbi12d 346 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
12 prn0 10399 . . . . . 6 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
13 n0 4307 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
1412, 13sylib 219 . . . . 5 (𝐴P → ∃𝑦 𝑦𝐴)
1514adantr 481 . . . 4 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
16 elprnq 10401 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑦𝐴) → 𝑦Q)
1716ad2ant2r 743 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦Q)
18 mulidnq 10373 . . . . . . . . . 10 (𝑦Q → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
20 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 1Q <Q 𝑏)
21 ltmnq 10382 . . . . . . . . . . 11 (𝑦Q → (1Q <Q 𝑏 ↔ (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏)))
2221biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q ∧ 1Q <Q 𝑏) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
2317, 20, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
2419, 23eqbrtrrd 5081 . . . . . . . 8 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
251brel 5610 . . . . . . . . . . . 12 (1Q <Q 𝑏 → (1QQ𝑏Q))
2625simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (1Q <Q 𝑏𝑏Q)
2726ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑏Q)
28 mulclnq 10357 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q𝑏Q) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
2917, 27, 28syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
30 ltexnq 10385 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
3224, 31mpbid 233 . . . . . . 7 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
33 simplll 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝐴P)
34 vex 3495 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3534prlem934 10443 . . . . . . . . 9 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
3633, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
3733adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴P)
38 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
39 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
4039biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
4138, 40sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
43 elprnq 10401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝑥𝐴) → 𝑥Q)
4433, 43sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥Q)
45 elprnq 10401 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
46 addnqf 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +Q :(Q × Q)⟶Q
4746fdmi 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom +Q = (Q × Q)
48 0nnq 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ ∅ ∈ Q
4947, 48ndmovrcl 7323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → (𝑦Q𝑧Q))
5049simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q𝑧Q)
5145, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → 𝑧Q)
5233, 41, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝑧Q)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧Q)
54 addclnq 10355 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥Q𝑧Q) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
5544, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
56 prub 10404 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
5737, 42, 55, 56syl21anc 833 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
5827ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑏Q)
59 mulclnq 10357 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥Q𝑏Q) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
6044, 58, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
6117ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦Q)
62 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
63 recclnq 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (*Q𝑦) ∈ Q)
64 mulclnq 10357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧Q ∧ (*Q𝑦) ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
6563, 64sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧Q𝑦Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
6665ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
67 ltmnq 10382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
69 mulassnq 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑦))
70 mulcomnq 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((*Q𝑦) ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q (*Q𝑦))
7170oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑦)) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
7269, 71eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
73 recidnq 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦Q → (𝑦 ·Q (*Q𝑦)) = 1Q)
7473oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑧 ·Q 1Q))
75 mulidnq 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧Q → (𝑧 ·Q 1Q) = 𝑧)
7674, 75sylan9eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑧)
7772, 76syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑧Q) → ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = 𝑧)
7877breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦Q𝑧Q) → (((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
7968, 78bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
8079adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
81 mulnqf 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ·Q :(Q × Q)⟶Q
8281fdmi 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ·Q = (Q × Q)
8382, 48ndmovrcl 7323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥Q𝑏Q))
8483simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑥Q)
85 ltanq 10381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
88 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ V
89 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ·Q (*Q𝑦)) ∈ V
90 mulcomnq 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ·Q 𝑤) = (𝑤 ·Q 𝑢)
91 distrnq 10371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ·Q (𝑤 +Q 𝑣)) = ((𝑢 ·Q 𝑤) +Q (𝑢 ·Q 𝑣))
9288, 34, 89, 90, 91caovdir 7371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))))
93 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 ∈ V
94 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (*Q𝑦) ∈ V
95 mulassnq 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑢 ·Q 𝑤) ·Q 𝑣) = (𝑢 ·Q (𝑤 ·Q 𝑣))
9688, 93, 94, 90, 95caov12 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
9773oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦Q → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 1Q))
98 mulidnq 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
9984, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
10097, 99sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑥)
10196, 100syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑥)
102 mulcomnq 10363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ·Q (*Q𝑦)) = ((*Q𝑦) ·Q 𝑥)
103102oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑥))
104 mulassnq 10369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑥))
105103, 104eqtr4i 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))
107101, 106oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
10892, 107syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
109108breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
11087, 109bitr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
11280, 111bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
113112adantrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
114 ltanq 10381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥)))
115 addcomnq 10361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑧)
116 addcomnq 10361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 +Q 𝑥) = (𝑥 +Q 𝑧)
117115, 116breq12i 5066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧))
118114, 117syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
119118ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
120 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))))
121 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 ∈ V
12288, 121, 93, 90, 95, 94caov411 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
12373oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q))
124 mulidnq 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q) = (𝑥 ·Q 𝑏))
125123, 124sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
126122, 125syl5eq 2865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
127120, 126sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
128127breq2d 5069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
129128adantrl 712 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
130113, 119, 1293bitr3d 310 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
13160, 61, 53, 62, 130syl22anc 834 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
13257, 131sylibd 240 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
133 prcdnq 10403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
134133impancom 452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
135134con3d 155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
136135ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴P → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
137136com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝐴P → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
13837, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
139132, 138mpdd 43 . . . . . . . . 9 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
140139reximdva 3271 . . . . . . . 8 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
14136, 140mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
14232, 141exlimddv 1927 . . . . . 6 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
143142expr 457 . . . . 5 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
144 oveq1 7152 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑦 ·Q 𝑏))
145144eleq1d 2894 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
146145notbid 319 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
147146rspcev 3620 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
148147ex 413 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
149148adantl 482 . . . . 5 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
150143, 149pm2.61d 180 . . . 4 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
15115, 150exlimddv 1927 . . 3 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
15211, 151vtoclg 3565 . 2 (𝐵Q → ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1534, 152mpcom 38 1 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  c0 4288   class class class wbr 5057   × cxp 5546  cfv 6348  (class class class)co 7145  Qcnq 10262  1Qc1q 10263   +Q cplq 10265   ·Q cmq 10266  *Qcrq 10267   <Q cltq 10268  Pcnp 10269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-ni 10282  df-pli 10283  df-mi 10284  df-lti 10285  df-plpq 10318  df-mpq 10319  df-ltpq 10320  df-enq 10321  df-nq 10322  df-erq 10323  df-plq 10324  df-mq 10325  df-1nq 10326  df-rq 10327  df-ltnq 10328  df-np 10391
This theorem is referenced by:  reclem3pr  10459
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