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Theorem prlem936 9725
Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prlem936 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem936
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 9604 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 5079 . . . 4 (1Q <Q 𝐵 → (1QQ𝐵Q))
32simprd 477 . . 3 (1Q <Q 𝐵𝐵Q)
43adantl 480 . 2 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → 𝐵Q)
5 breq2 4581 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (1Q <Q 𝑏 ↔ 1Q <Q 𝐵))
65anbi2d 735 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ↔ (𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵)))
7 oveq2 6534 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑥 ·Q 𝐵))
87eleq1d 2671 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
98notbid 306 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
109rexbidv 3033 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
116, 10imbi12d 332 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
12 prn0 9667 . . . . . 6 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
13 n0 3889 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
1412, 13sylib 206 . . . . 5 (𝐴P → ∃𝑦 𝑦𝐴)
1514adantr 479 . . . 4 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
16 elprnq 9669 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑦𝐴) → 𝑦Q)
1716ad2ant2r 778 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦Q)
18 mulidnq 9641 . . . . . . . . . 10 (𝑦Q → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
20 simplr 787 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 1Q <Q 𝑏)
21 ltmnq 9650 . . . . . . . . . . 11 (𝑦Q → (1Q <Q 𝑏 ↔ (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏)))
2221biimpa 499 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q ∧ 1Q <Q 𝑏) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
2317, 20, 22syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
2419, 23eqbrtrrd 4601 . . . . . . . 8 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
251brel 5079 . . . . . . . . . . . 12 (1Q <Q 𝑏 → (1QQ𝑏Q))
2625simprd 477 . . . . . . . . . . 11 (1Q <Q 𝑏𝑏Q)
2726ad2antlr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑏Q)
28 mulclnq 9625 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q𝑏Q) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
2917, 27, 28syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
30 ltexnq 9653 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
3224, 31mpbid 220 . . . . . . 7 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
33 simplll 793 . . . . . . . . 9 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝐴P)
34 vex 3175 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3534prlem934 9711 . . . . . . . . 9 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
3633, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
3733adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴P)
38 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
39 eleq1 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
4039biimparc 502 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
4138, 40sylan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
4241adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
43 elprnq 9669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝑥𝐴) → 𝑥Q)
4433, 43sylan 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥Q)
45 elprnq 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
46 addnqf 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +Q :(Q × Q)⟶Q
4746fdmi 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom +Q = (Q × Q)
48 0nnq 9602 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ ∅ ∈ Q
4947, 48ndmovrcl 6695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → (𝑦Q𝑧Q))
5049simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q𝑧Q)
5145, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → 𝑧Q)
5233, 41, 51syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝑧Q)
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧Q)
54 addclnq 9623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥Q𝑧Q) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
5544, 53, 54syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
56 prub 9672 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
5737, 42, 55, 56syl21anc 1316 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
5827ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑏Q)
59 mulclnq 9625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥Q𝑏Q) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
6044, 58, 59syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
6117ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦Q)
62 simplr 787 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
63 recclnq 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (*Q𝑦) ∈ Q)
64 mulclnq 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧Q ∧ (*Q𝑦) ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
6563, 64sylan2 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧Q𝑦Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
6665ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
67 ltmnq 9650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
69 mulassnq 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑦))
70 mulcomnq 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((*Q𝑦) ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q (*Q𝑦))
7170oveq2i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑦)) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
7269, 71eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
73 recidnq 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦Q → (𝑦 ·Q (*Q𝑦)) = 1Q)
7473oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑧 ·Q 1Q))
75 mulidnq 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧Q → (𝑧 ·Q 1Q) = 𝑧)
7674, 75sylan9eq 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑧)
7772, 76syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑧Q) → ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = 𝑧)
7877breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦Q𝑧Q) → (((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
7968, 78bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
8079adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
81 mulnqf 9627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ·Q :(Q × Q)⟶Q
8281fdmi 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ·Q = (Q × Q)
8382, 48ndmovrcl 6695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥Q𝑏Q))
8483simpld 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑥Q)
85 ltanq 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
8786adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
88 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ V
89 ovex 6554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ·Q (*Q𝑦)) ∈ V
90 mulcomnq 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ·Q 𝑤) = (𝑤 ·Q 𝑢)
91 distrnq 9639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ·Q (𝑤 +Q 𝑣)) = ((𝑢 ·Q 𝑤) +Q (𝑢 ·Q 𝑣))
9288, 34, 89, 90, 91caovdir 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))))
93 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 ∈ V
94 fvex 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (*Q𝑦) ∈ V
95 mulassnq 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑢 ·Q 𝑤) ·Q 𝑣) = (𝑢 ·Q (𝑤 ·Q 𝑣))
9688, 93, 94, 90, 95caov12 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
9773oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦Q → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 1Q))
98 mulidnq 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
9984, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
10097, 99sylan9eqr 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑥)
10196, 100syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑥)
102 mulcomnq 9631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ·Q (*Q𝑦)) = ((*Q𝑦) ·Q 𝑥)
103102oveq2i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑥))
104 mulassnq 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑥))
105103, 104eqtr4i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))
107101, 106oveq12d 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
10892, 107syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
109108breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
11087, 109bitr4d 269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
111110adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
11280, 111bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
113112adantrr 748 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
114 ltanq 9649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥)))
115 addcomnq 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑧)
116 addcomnq 9629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 +Q 𝑥) = (𝑥 +Q 𝑧)
117115, 116breq12i 4586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧))
118114, 117syl6bb 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
119118ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
120 oveq1 6533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))))
121 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 ∈ V
12288, 121, 93, 90, 95, 94caov411 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
12373oveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q))
124 mulidnq 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q) = (𝑥 ·Q 𝑏))
125123, 124sylan9eqr 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
126122, 125syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
127120, 126sylan9eqr 2665 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
128127breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
129128adantrl 747 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
130113, 119, 1293bitr3d 296 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
13160, 61, 53, 62, 130syl22anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
13257, 131sylibd 227 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
133 prcdnq 9671 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
134133impancom 454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
135134con3d 146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
136135ex 448 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴P → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
137136com23 83 . . . . . . . . . . 11 (𝐴P → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
13837, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
139132, 138mpdd 41 . . . . . . . . 9 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
140139reximdva 2999 . . . . . . . 8 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
14136, 140mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
14232, 141exlimddv 1849 . . . . . 6 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
143142expr 640 . . . . 5 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
144 oveq1 6533 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑦 ·Q 𝑏))
145144eleq1d 2671 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
146145notbid 306 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
147146rspcev 3281 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
148147ex 448 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
149148adantl 480 . . . . 5 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
150143, 149pm2.61d 168 . . . 4 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
15115, 150exlimddv 1849 . . 3 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
15211, 151vtoclg 3238 . 2 (𝐵Q → ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1534, 152mpcom 37 1 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  c0 3873   class class class wbr 4577   × cxp 5025  cfv 5789  (class class class)co 6526  Qcnq 9530  1Qc1q 9531   +Q cplq 9533   ·Q cmq 9534  *Qcrq 9535   <Q cltq 9536  Pcnp 9537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ni 9550  df-pli 9551  df-mi 9552  df-lti 9553  df-plpq 9586  df-mpq 9587  df-ltpq 9588  df-enq 9589  df-nq 9590  df-erq 9591  df-plq 9592  df-mq 9593  df-1nq 9594  df-rq 9595  df-ltnq 9596  df-np 9659
This theorem is referenced by:  reclem3pr  9727
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