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Theorem prlem936 10081
Description: Lemma 9-3.6 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 26-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
prlem936 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem prlem936
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑏 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 9960 . . . . 5 <Q ⊆ (Q × Q)
21brel 5325 . . . 4 (1Q <Q 𝐵 → (1QQ𝐵Q))
32simprd 482 . . 3 (1Q <Q 𝐵𝐵Q)
43adantl 473 . 2 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → 𝐵Q)
5 breq2 4808 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (1Q <Q 𝑏 ↔ 1Q <Q 𝐵))
65anbi2d 742 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ↔ (𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵)))
7 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑥 ·Q 𝐵))
87eleq1d 2824 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
98notbid 307 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
109rexbidv 3190 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
116, 10imbi12d 333 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)))
12 prn0 10023 . . . . . 6 (𝐴P𝐴 ≠ ∅)
13 n0 4074 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐴)
1412, 13sylib 208 . . . . 5 (𝐴P → ∃𝑦 𝑦𝐴)
1514adantr 472 . . . 4 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑦 𝑦𝐴)
16 elprnq 10025 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴P𝑦𝐴) → 𝑦Q)
1716ad2ant2r 800 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦Q)
18 mulidnq 9997 . . . . . . . . . 10 (𝑦Q → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) = 𝑦)
20 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 1Q <Q 𝑏)
21 ltmnq 10006 . . . . . . . . . . 11 (𝑦Q → (1Q <Q 𝑏 ↔ (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏)))
2221biimpa 502 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q ∧ 1Q <Q 𝑏) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
2317, 20, 22syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 1Q) <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
2419, 23eqbrtrrd 4828 . . . . . . . 8 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏))
251brel 5325 . . . . . . . . . . . 12 (1Q <Q 𝑏 → (1QQ𝑏Q))
2625simprd 482 . . . . . . . . . . 11 (1Q <Q 𝑏𝑏Q)
2726ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → 𝑏Q)
28 mulclnq 9981 . . . . . . . . . 10 ((𝑦Q𝑏Q) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
2917, 27, 28syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q)
30 ltexnq 10009 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
3129, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 <Q (𝑦 ·Q 𝑏) ↔ ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)))
3224, 31mpbid 222 . . . . . . 7 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑧(𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
33 simplll 815 . . . . . . . . 9 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝐴P)
34 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
3534prlem934 10067 . . . . . . . . 9 (𝐴P → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
3633, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
3733adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴P)
38 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
39 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
4039biimparc 505 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
4138, 40sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴)
43 elprnq 10025 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P𝑥𝐴) → 𝑥Q)
4433, 43sylan 489 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥Q)
45 elprnq 10025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q)
46 addnqf 9982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +Q :(Q × Q)⟶Q
4746fdmi 6213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom +Q = (Q × Q)
48 0nnq 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ ∅ ∈ Q
4947, 48ndmovrcl 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q → (𝑦Q𝑧Q))
5049simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑧) ∈ Q𝑧Q)
5145, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) → 𝑧Q)
5233, 41, 51syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → 𝑧Q)
5352adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑧Q)
54 addclnq 9979 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥Q𝑧Q) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
5544, 53, 54syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q)
56 prub 10028 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴P ∧ (𝑦 +Q 𝑧) ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ Q) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
5737, 42, 55, 56syl21anc 1476 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
5827ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑏Q)
59 mulclnq 9981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥Q𝑏Q) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
6044, 58, 59syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q)
6117ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦Q)
62 simplr 809 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))
63 recclnq 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (*Q𝑦) ∈ Q)
64 mulclnq 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧Q ∧ (*Q𝑦) ∈ Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
6563, 64sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧Q𝑦Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
6665ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q)
67 ltmnq 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ∈ Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
69 mulassnq 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑦))
70 mulcomnq 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((*Q𝑦) ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q (*Q𝑦))
7170oveq2i 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑦)) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
7269, 71eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
73 recidnq 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦Q → (𝑦 ·Q (*Q𝑦)) = 1Q)
7473oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦Q → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑧 ·Q 1Q))
75 mulidnq 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧Q → (𝑧 ·Q 1Q) = 𝑧)
7674, 75sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑧 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑧)
7772, 76syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦Q𝑧Q) → ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) = 𝑧)
7877breq1d 4814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦Q𝑧Q) → (((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑦) <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ 𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
7968, 78bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
8079adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
81 mulnqf 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ·Q :(Q × Q)⟶Q
8281fdmi 6213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ·Q = (Q × Q)
8382, 48ndmovrcl 6986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥Q𝑏Q))
8483simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑥Q)
85 ltanq 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
8786adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
88 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ V
89 ovex 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ·Q (*Q𝑦)) ∈ V
90 mulcomnq 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ·Q 𝑤) = (𝑤 ·Q 𝑢)
91 distrnq 9995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ·Q (𝑤 +Q 𝑣)) = ((𝑢 ·Q 𝑤) +Q (𝑢 ·Q 𝑣))
9288, 34, 89, 90, 91caovdir 7034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))))
93 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 ∈ V
94 fvex 6363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (*Q𝑦) ∈ V
95 mulassnq 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑢 ·Q 𝑤) ·Q 𝑣) = (𝑢 ·Q (𝑤 ·Q 𝑣))
9688, 93, 94, 90, 95caov12 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
9773oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦Q → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 1Q))
98 mulidnq 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
9984, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → (𝑥 ·Q 1Q) = 𝑥)
10097, 99sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑥 ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑥)
10196, 100syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = 𝑥)
102 mulcomnq 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ·Q (*Q𝑦)) = ((*Q𝑦) ·Q 𝑥)
103102oveq2i 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑥))
104 mulassnq 9993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) = (𝑧 ·Q ((*Q𝑦) ·Q 𝑥))
105103, 104eqtr4i 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))
107101, 106oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) +Q (𝑧 ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
10892, 107syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥)))
109108breq2d 4816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥))))
11087, 109bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
111110adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑧 <Q ((𝑧 ·Q (*Q𝑦)) ·Q 𝑥) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
11280, 111bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ 𝑧Q) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
113112adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦)))))
114 ltanq 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥)))
115 addcomnq 9985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 +Q 𝑦) = (𝑦 +Q 𝑧)
116 addcomnq 9985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 +Q 𝑥) = (𝑥 +Q 𝑧)
117115, 116breq12i 4813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 +Q 𝑦) <Q (𝑧 +Q 𝑥) ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧))
118114, 117syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧Q → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
119118ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → (𝑦 <Q 𝑥 ↔ (𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧)))
120 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))))
121 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑏 ∈ V
12288, 121, 93, 90, 95, 94caov411 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦)))
12373oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q))
124 mulidnq 9997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q 1Q) = (𝑥 ·Q 𝑏))
125123, 124sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ·Q (𝑦 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
126122, 125syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
127120, 126sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) = (𝑥 ·Q 𝑏))
128127breq2d 4816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
129128adantrl 754 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q ((𝑦 +Q 𝑧) ·Q (𝑥 ·Q (*Q𝑦))) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
130113, 119, 1293bitr3d 298 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ Q𝑦Q) ∧ (𝑧Q ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏))) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
13160, 61, 53, 62, 130syl22anc 1478 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑦 +Q 𝑧) <Q (𝑥 +Q 𝑧) ↔ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
13257, 131sylibd 229 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)))
133 prcdnq 10027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴P ∧ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
134133impancom 455 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴))
135134con3d 148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴P ∧ (𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏)) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
136135ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴P → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
137136com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝐴P → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
13837, 137syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ((𝑥 +Q 𝑧) <Q (𝑥 ·Q 𝑏) → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)))
139132, 138mpdd 43 . . . . . . . . 9 (((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) ∧ 𝑥𝐴) → (¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
140139reximdva 3155 . . . . . . . 8 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → (∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 +Q 𝑧) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
14136, 140mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) ∧ (𝑦 +Q 𝑧) = (𝑦 ·Q 𝑏)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
14232, 141exlimddv 2012 . . . . . 6 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
143142expr 644 . . . . 5 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
144 oveq1 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·Q 𝑏) = (𝑦 ·Q 𝑏))
145144eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
146145notbid 307 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 ↔ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
147146rspcev 3449 . . . . . . 7 ((𝑦𝐴 ∧ ¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
148147ex 449 . . . . . 6 (𝑦𝐴 → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
149148adantl 473 . . . . 5 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → (¬ (𝑦 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴 → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴))
150143, 149pm2.61d 170 . . . 4 (((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) ∧ 𝑦𝐴) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
15115, 150exlimddv 2012 . . 3 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝑏) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝑏) ∈ 𝐴)
15211, 151vtoclg 3406 . 2 (𝐵Q → ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴))
1534, 152mpcom 38 1 ((𝐴P ∧ 1Q <Q 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ¬ (𝑥 ·Q 𝐵) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  c0 4058   class class class wbr 4804   × cxp 5264  cfv 6049  (class class class)co 6814  Qcnq 9886  1Qc1q 9887   +Q cplq 9889   ·Q cmq 9890  *Qcrq 9891   <Q cltq 9892  Pcnp 9893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-ni 9906  df-pli 9907  df-mi 9908  df-lti 9909  df-plpq 9942  df-mpq 9943  df-ltpq 9944  df-enq 9945  df-nq 9946  df-erq 9947  df-plq 9948  df-mq 9949  df-1nq 9950  df-rq 9951  df-ltnq 9952  df-np 10015
This theorem is referenced by:  reclem3pr  10083
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