MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prm23lt5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prm23lt5 15303
Description: A prime less than 5 is either 2 or 3. (Contributed by AV, 5-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
prm23lt5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))

Proof of Theorem prm23lt5
StepHypRef Expression
1 prmnn 15172 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11198 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
32adantr 479 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ ℕ0)
4 4nn0 11158 . . . 4 4 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 4 ∈ ℕ0)
6 df-5 10929 . . . . . 6 5 = (4 + 1)
76breq2i 4585 . . . . 5 (𝑃 < 5 ↔ 𝑃 < (4 + 1))
8 prmz 15173 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9 4z 11244 . . . . . . 7 4 ∈ ℤ
10 zleltp1 11261 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
118, 9, 10sylancl 692 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≤ 4 ↔ 𝑃 < (4 + 1)))
1211biimprd 236 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < (4 + 1) → 𝑃 ≤ 4))
137, 12syl5bi 230 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 < 5 → 𝑃 ≤ 4))
1413imp 443 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ≤ 4)
15 elfz2nn0 12255 . . 3 (𝑃 ∈ (0...4) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0𝑃 ≤ 4))
163, 5, 14, 15syl3anbrc 1238 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → 𝑃 ∈ (0...4))
17 fz0to4untppr 12266 . . . 4 (0...4) = ({0, 1, 2} ∪ {3, 4})
1817eleq2i 2679 . . 3 (𝑃 ∈ (0...4) ↔ 𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}))
19 elun 3714 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) ↔ (𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}))
20 eltpi 4175 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2))
21 nnne0 10900 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0)
22 eqneqall 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 = 0 → (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
2322com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ≠ 0 → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
241, 21, 233syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 0 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
2524com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 0 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
26 eleq1 2675 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 1 ∈ ℙ))
27 1nprm 15176 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ ℙ
2827pm2.21i 114 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
2926, 28syl6bi 241 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 1 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
30 orc 398 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 2 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
3130a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
3225, 29, 313jaoi 1382 . . . . . . . 8 ((𝑃 = 0 ∨ 𝑃 = 1 ∨ 𝑃 = 2) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
3320, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ {0, 1, 2} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
34 elpri 4144 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4))
35 olc 397 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 3 → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
3635a1d 25 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 3 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
37 eleq1 2675 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 4 ∈ ℙ))
38 4nprm 15191 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ∈ ℙ
3938pm2.21i 114 . . . . . . . . . 10 (4 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
4037, 39syl6bi 241 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 4 → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4136, 40jaoi 392 . . . . . . . 8 ((𝑃 = 3 ∨ 𝑃 = 4) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4234, 41syl 17 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ {3, 4} → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4333, 42jaoi 392 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ {0, 1, 2} ∨ 𝑃 ∈ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4419, 43sylbi 205 . . . . 5 (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4544com12 32 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4645adantr 479 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ ({0, 1, 2} ∪ {3, 4}) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4718, 46syl5bi 230 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 ∈ (0...4) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3)))
4816, 47mpd 15 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 < 5) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑃 = 3))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3o 1029   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  cun 3537  {cpr 4126  {ctp 4128   class class class wbr 4577  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  5c5 10920  0cn0 11139  cz 11210  ...cfz 12152  cprime 15169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768  df-prm 15170
This theorem is referenced by:  prm23ge5  15304
  Copyright terms: Public domain W3C validator