MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdivdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdivdiv 15416
Description: The (modular) inverse of the inverse of a number is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
Assertion
Ref Expression
prmdivdiv ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))

Proof of Theorem prmdivdiv
StepHypRef Expression
1 1e0p1 11496 . . . . 5 1 = (0 + 1)
21oveq1i 6614 . . . 4 (1...(𝑃 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑃 − 1))
3 0z 11332 . . . . 5 0 ∈ ℤ
4 fzp1ss 12334 . . . . 5 (0 ∈ ℤ → ((0 + 1)...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1)))
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ((0 + 1)...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
62, 5eqsstri 3614 . . 3 (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
7 simpr 477 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
86, 7sseldi 3581 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
9 simpl 473 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 elfznn 12312 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝐴 ∈ ℕ)
1110adantl 482 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
1211nnzd 11425 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
13 prmnn 15312 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
14 fzm1ndvds 14968 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝐴)
1513, 14sylan 488 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝐴)
16 prmdiv.1 . . . . . 6 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
1716prmdiv 15414 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
189, 12, 15, 17syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
1918simprd 479 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
2011nncnd 10980 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
2118simpld 475 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
22 elfznn 12312 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℕ)
2423nncnd 10980 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℂ)
2520, 24mulcomd 10005 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → (𝐴 · 𝑅) = (𝑅 · 𝐴))
2625oveq1d 6619 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) = ((𝑅 · 𝐴) − 1))
2719, 26breqtrd 4639 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1))
28 elfzelz 12284 . . . 4 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℤ)
2921, 28syl 17 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑅 ∈ ℤ)
3013adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
31 fzm1ndvds 14968 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑅)
3230, 21, 31syl2anc 692 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑅)
33 eqid 2621 . . . 4 ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
3433prmdiveq 15415 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝑅) → ((𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1)) ↔ 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
359, 29, 32, 34syl3anc 1323 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ((𝐴 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝑅 · 𝐴) − 1)) ↔ 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)))
368, 27, 35mpbi2and 955 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → 𝐴 = ((𝑅↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  ...cfz 12268   mod cmo 12608  cexp 12800  cdvds 14907  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-phi 15395
This theorem is referenced by:  wilthlem2  24695
  Copyright terms: Public domain W3C validator