Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1 42009
 Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1
Dummy variables 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . . 3 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
21prmdvdsfmtnof 42008 . 2 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
31a1i 11 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < )))
4 breq2 4808 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → (𝑝𝑓𝑝𝑔))
54rabbidv 3329 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔})
65infeq1d 8548 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
76adantl 473 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ 𝑓 = 𝑔) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
8 id 22 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ ran FermatNo)
9 ltso 10310 . . . . . . . 8 < Or ℝ
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
1110infexd 8554 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
123, 7, 8, 11fvmptd 6450 . . . . 5 (𝑔 ∈ ran FermatNo → (𝐹𝑔) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
131a1i 11 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < )))
14 breq2 4808 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑝𝑓𝑝))
1514rabbidv 3329 . . . . . . . 8 (𝑓 = → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝})
1615infeq1d 8548 . . . . . . 7 (𝑓 = → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
1716adantl 473 . . . . . 6 (( ∈ ran FermatNo ∧ 𝑓 = ) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
18 id 22 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → ∈ ran FermatNo)
199a1i 11 . . . . . . 7 ( ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
2019infexd 8554 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) ∈ V)
2113, 17, 18, 20fvmptd 6450 . . . . 5 ( ∈ ran FermatNo → (𝐹) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
2212, 21eqeqan12d 2776 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹𝑔) = (𝐹) ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < )))
23 fmtnorn 41956 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔)
24 fmtnoge3 41952 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
25 uzuzle23 11922 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
2726adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
28 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)))
2928adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)))
3027, 29mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
3130rexlimiva 3166 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔𝑔 ∈ (ℤ‘2))
3223, 31sylbi 207 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
33 fmtnorn 41956 . . . . . . 7 ( ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = )
3426adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
35 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) = → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ ∈ (ℤ‘2)))
3635adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ ∈ (ℤ‘2)))
3734, 36mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → ∈ (ℤ‘2))
3837rexlimiva 3166 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ∈ (ℤ‘2))
3933, 38sylbi 207 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → ∈ (ℤ‘2))
40 eqid 2760 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < )
41 eqid 2760 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < )
4240, 41prmdvdsfmtnof1lem1 42006 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ )))
4332, 39, 42syl2an 495 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ )))
44 prmdvdsfmtnof1lem2 42007 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ ) → 𝑔 = ))
4543, 44syld 47 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → 𝑔 = ))
4622, 45sylbid 230 . . 3 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = ))
4746rgen2a 3115 . 2 𝑔 ∈ ran FermatNo∀ ∈ ran FermatNo((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = )
48 dff13 6675 . 2 (𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ ↔ (𝐹:ran FermatNo⟶ℙ ∧ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ ∈ ran FermatNo((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = )))
492, 47, 48mpbir2an 993 1 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   Or wor 5186  ran crn 5267  ⟶wf 6045  –1-1→wf1 6046  ‘cfv 6049  infcinf 8512  ℝcr 10127   < clt 10266  2c2 11262  3c3 11263  ℕ0cn0 11484  ℤ≥cuz 11879   ∥ cdvds 15182  ℙcprime 15587  FermatNocfmtno 41949 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-prod 14835  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-fmtno 41950 This theorem is referenced by:  prminf2  42010
 Copyright terms: Public domain W3C validator