Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1 40795
Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a one-to-one function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1
Dummy variables 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . . 3 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
21prmdvdsfmtnof 40794 . 2 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
31a1i 11 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < )))
4 breq2 4617 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑔 → (𝑝𝑓𝑝𝑔))
54rabbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑔 → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔})
65infeq1d 8327 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑔 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ 𝑓 = 𝑔) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
8 id 22 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ ran FermatNo)
9 ltso 10062 . . . . . . . 8 < Or ℝ
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
1110infexd 8333 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ V)
123, 7, 8, 11fvmptd 6245 . . . . 5 (𝑔 ∈ ran FermatNo → (𝐹𝑔) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ))
131a1i 11 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < )))
14 breq2 4617 . . . . . . . . 9 (𝑓 = → (𝑝𝑓𝑝))
1514rabbidv 3177 . . . . . . . 8 (𝑓 = → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝})
1615infeq1d 8327 . . . . . . 7 (𝑓 = → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
1716adantl 482 . . . . . 6 (( ∈ ran FermatNo ∧ 𝑓 = ) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
18 id 22 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → ∈ ran FermatNo)
199a1i 11 . . . . . . 7 ( ∈ ran FermatNo → < Or ℝ)
2019infexd 8333 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) ∈ V)
2113, 17, 18, 20fvmptd 6245 . . . . 5 ( ∈ ran FermatNo → (𝐹) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ))
2212, 21eqeqan12d 2637 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹𝑔) = (𝐹) ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < )))
23 fmtnorn 40742 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔)
24 fmtnoge3 40738 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
25 uzuzle23 11673 . . . . . . . . . . 11 ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
2726adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
28 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) = 𝑔 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)))
2928adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑔 ∈ (ℤ‘2)))
3027, 29mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑔) → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
3130rexlimiva 3021 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑔𝑔 ∈ (ℤ‘2))
3223, 31sylbi 207 . . . . . 6 (𝑔 ∈ ran FermatNo → 𝑔 ∈ (ℤ‘2))
33 fmtnorn 40742 . . . . . . 7 ( ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = )
3426adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2))
35 eleq1 2686 . . . . . . . . . 10 ((FermatNo‘𝑛) = → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ ∈ (ℤ‘2)))
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘2) ↔ ∈ (ℤ‘2)))
3734, 36mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = ) → ∈ (ℤ‘2))
3837rexlimiva 3021 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = ∈ (ℤ‘2))
3933, 38sylbi 207 . . . . . 6 ( ∈ ran FermatNo → ∈ (ℤ‘2))
40 eqid 2621 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < )
41 eqid 2621 . . . . . . 7 inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < )
4240, 41prmdvdsfmtnof1lem1 40792 . . . . . 6 ((𝑔 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ )))
4332, 39, 42syl2an 494 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ )))
44 prmdvdsfmtnof1lem2 40793 . . . . 5 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∈ ℙ ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ 𝑔 ∧ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) ∥ ) → 𝑔 = ))
4543, 44syld 47 . . . 4 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑔}, ℝ, < ) = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝}, ℝ, < ) → 𝑔 = ))
4622, 45sylbid 230 . . 3 ((𝑔 ∈ ran FermatNo ∧ ∈ ran FermatNo) → ((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = ))
4746rgen2a 2971 . 2 𝑔 ∈ ran FermatNo∀ ∈ ran FermatNo((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = )
48 dff13 6466 . 2 (𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ ↔ (𝐹:ran FermatNo⟶ℙ ∧ ∀𝑔 ∈ ran FermatNo∀ ∈ ran FermatNo((𝐹𝑔) = (𝐹) → 𝑔 = )))
492, 47, 48mpbir2an 954 1 𝐹:ran FermatNo–1-1→ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  cmpt 4673   Or wor 4994  ran crn 5075  wf 5843  1-1wf1 5844  cfv 5847  infcinf 8291  cr 9879   < clt 10018  2c2 11014  3c3 11015  0cn0 11236  cuz 11631  cdvds 14907  cprime 15309  FermatNocfmtno 40735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-fmtno 40736
This theorem is referenced by:  prminf2  40796
  Copyright terms: Public domain W3C validator