Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 40792
Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 40795. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1
StepHypRef Expression
1 ltso 10062 . . . 4 < Or ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → < Or ℝ)
3 eluz2nn 11670 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5 prmdvdsfi 24733 . . . 4 (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
7 exprmfct 15340 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
87adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
9 rabn0 3932 . . . 4 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
108, 9sylibr 224 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅)
11 ssrab2 3666 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℙ
12 prmssnn 15314 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
13 nnssre 10968 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℝ
1412, 13sstri 3592 . . . . 5 ℙ ⊆ ℝ
1511, 14sstri 3592 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)
17 fiinfcl 8351 . . 3 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
182, 6, 10, 16, 17syl13anc 1325 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
19 prmdvdsfmtnof1lem1.i . . . 4 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
2019eleq1i 2689 . . 3 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
21 eluz2nn 11670 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
2221adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23 prmdvdsfi 24733 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
25 exprmfct 15340 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
27 rabn0 3932 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2826, 27sylibr 224 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅)
29 ssrab2 3666 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℙ
3029, 14sstri 3592 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)
32 fiinfcl 8351 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
332, 24, 28, 31, 32syl13anc 1325 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
34 prmdvdsfmtnof1lem1.j . . . . . 6 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
3534eleq1i 2689 . . . . 5 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
36 nfrab1 3111 . . . . . . . . . 10 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}
37 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑝
38 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑝 <
3936, 37, 38nfinf 8332 . . . . . . . . 9 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
4034, 39nfcxfr 2759 . . . . . . . 8 𝑝𝐽
41 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑝
42 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑝
43 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑝𝐺
4440, 42, 43nfbr 4659 . . . . . . . 8 𝑝 𝐽𝐺
45 breq1 4616 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐽 → (𝑝𝐺𝐽𝐺))
4640, 41, 44, 45elrabf 3343 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺))
47 nfrab1 3111 . . . . . . . . . . 11 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}
4847, 37, 38nfinf 8332 . . . . . . . . . 10 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
4919, 48nfcxfr 2759 . . . . . . . . 9 𝑝𝐼
50 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑝𝐹
5149, 42, 50nfbr 4659 . . . . . . . . 9 𝑝 𝐼𝐹
52 breq1 4616 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐼 → (𝑝𝐹𝐼𝐹))
5349, 41, 51, 52elrabf 3343 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹))
54 simp2l 1085 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55 simp2r 1086 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐹)
56 simp1r 1084 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽𝐺)
57 breq1 4616 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 𝐽 → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
58573ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
5956, 58mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐺)
6054, 55, 593jca 1240 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))
61603exp 1261 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6253, 61syl5bi 232 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6346, 62sylbi 207 . . . . . 6 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6463a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6535, 64syl5bir 233 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6633, 65mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6720, 66syl5bir 233 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6818, 67mpd 15 1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  {crab 2911  wss 3555  c0 3891   class class class wbr 4613   Or wor 4994  cfv 5847  Fincfn 7899  infcinf 8291  cr 9879   < clt 10018  cn 10964  2c2 11014  cuz 11631  cdvds 14907  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  40795
  Copyright terms: Public domain W3C validator