Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 42006
Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 42009. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1
StepHypRef Expression
1 ltso 10310 . . . 4 < Or ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → < Or ℝ)
3 eluz2nn 11919 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
43adantr 472 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5 prmdvdsfi 25032 . . . 4 (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
7 exprmfct 15618 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
87adantr 472 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
9 rabn0 4101 . . . 4 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
108, 9sylibr 224 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅)
11 ssrab2 3828 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℙ
12 prmssnn 15592 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
13 nnssre 11216 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℝ
1412, 13sstri 3753 . . . . 5 ℙ ⊆ ℝ
1511, 14sstri 3753 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)
17 fiinfcl 8572 . . 3 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
182, 6, 10, 16, 17syl13anc 1479 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
19 prmdvdsfmtnof1lem1.i . . . 4 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
2019eleq1i 2830 . . 3 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
21 eluz2nn 11919 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
2221adantl 473 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23 prmdvdsfi 25032 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
25 exprmfct 15618 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2625adantl 473 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
27 rabn0 4101 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2826, 27sylibr 224 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅)
29 ssrab2 3828 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℙ
3029, 14sstri 3753 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)
32 fiinfcl 8572 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
332, 24, 28, 31, 32syl13anc 1479 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
34 prmdvdsfmtnof1lem1.j . . . . . 6 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
3534eleq1i 2830 . . . . 5 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
36 nfrab1 3261 . . . . . . . . . 10 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}
37 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑝
38 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑝 <
3936, 37, 38nfinf 8553 . . . . . . . . 9 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
4034, 39nfcxfr 2900 . . . . . . . 8 𝑝𝐽
41 nfcv 2902 . . . . . . . 8 𝑝
42 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑝
43 nfcv 2902 . . . . . . . . 9 𝑝𝐺
4440, 42, 43nfbr 4851 . . . . . . . 8 𝑝 𝐽𝐺
45 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐽 → (𝑝𝐺𝐽𝐺))
4640, 41, 44, 45elrabf 3500 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺))
47 nfrab1 3261 . . . . . . . . . . 11 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}
4847, 37, 38nfinf 8553 . . . . . . . . . 10 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
4919, 48nfcxfr 2900 . . . . . . . . 9 𝑝𝐼
50 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑝𝐹
5149, 42, 50nfbr 4851 . . . . . . . . 9 𝑝 𝐼𝐹
52 breq1 4807 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐼 → (𝑝𝐹𝐼𝐹))
5349, 41, 51, 52elrabf 3500 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹))
54 simp2l 1242 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55 simp2r 1243 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐹)
56 simp1r 1241 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽𝐺)
57 breq1 4807 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 𝐽 → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
58573ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
5956, 58mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐺)
6054, 55, 593jca 1123 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))
61603exp 1113 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6253, 61syl5bi 232 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6346, 62sylbi 207 . . . . . 6 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6463a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6535, 64syl5bir 233 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6633, 65mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6720, 66syl5bir 233 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6818, 67mpd 15 1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wrex 3051  {crab 3054  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804   Or wor 5186  cfv 6049  Fincfn 8121  infcinf 8512  cr 10127   < clt 10266  cn 11212  2c2 11262  cuz 11879  cdvds 15182  cprime 15587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  42009
  Copyright terms: Public domain W3C validator