Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof1lem1 43623
Description: Lemma 1 for prmdvdsfmtnof1 43626. (Contributed by AV, 3-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1.i 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
prmdvdsfmtnof1lem1.j 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof1lem1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑝   𝐺,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑝)   𝐽(𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof1lem1
StepHypRef Expression
1 ltso 10709 . . . 4 < Or ℝ
21a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → < Or ℝ)
3 eluz2nn 12272 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → 𝐹 ∈ ℕ)
43adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐹 ∈ ℕ)
5 prmdvdsfi 25611 . . . 4 (𝐹 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
64, 5syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin)
7 exprmfct 16036 . . . . 5 (𝐹 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
87adantr 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
9 rabn0 4336 . . . 4 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐹)
108, 9sylibr 235 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅)
11 ssrab2 4053 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℙ
12 prmssnn 16008 . . . . . 6 ℙ ⊆ ℕ
13 nnssre 11630 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℝ
1412, 13sstri 3973 . . . . 5 ℙ ⊆ ℝ
1511, 14sstri 3973 . . . 4 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)
17 fiinfcl 8953 . . 3 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
182, 6, 10, 16, 17syl13anc 1364 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
19 prmdvdsfmtnof1lem1.i . . . 4 𝐼 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
2019eleq1i 2900 . . 3 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹})
21 eluz2nn 12272 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → 𝐺 ∈ ℕ)
2221adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐺 ∈ ℕ)
23 prmdvdsfi 25611 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin)
25 exprmfct 16036 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2625adantl 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
27 rabn0 4336 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝐺)
2826, 27sylibr 235 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅)
29 ssrab2 4053 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℙ
3029, 14sstri 3973 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ
3130a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)
32 fiinfcl 8953 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
332, 24, 28, 31, 32syl13anc 1364 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
34 prmdvdsfmtnof1lem1.j . . . . . 6 𝐽 = inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
3534eleq1i 2900 . . . . 5 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺})
36 nfrab1 3382 . . . . . . . . . 10 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}
37 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑝
38 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑝 <
3936, 37, 38nfinf 8934 . . . . . . . . 9 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < )
4034, 39nfcxfr 2972 . . . . . . . 8 𝑝𝐽
41 nfcv 2974 . . . . . . . 8 𝑝
42 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑝
43 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑝𝐺
4440, 42, 43nfbr 5104 . . . . . . . 8 𝑝 𝐽𝐺
45 breq1 5060 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐽 → (𝑝𝐺𝐽𝐺))
4640, 41, 44, 45elrabf 3673 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} ↔ (𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺))
47 nfrab1 3382 . . . . . . . . . . 11 𝑝{𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}
4847, 37, 38nfinf 8934 . . . . . . . . . 10 𝑝inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < )
4919, 48nfcxfr 2972 . . . . . . . . 9 𝑝𝐼
50 nfcv 2974 . . . . . . . . . 10 𝑝𝐹
5149, 42, 50nfbr 5104 . . . . . . . . 9 𝑝 𝐼𝐹
52 breq1 5060 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐼 → (𝑝𝐹𝐼𝐹))
5349, 41, 51, 52elrabf 3673 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} ↔ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹))
54 simp2l 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼 ∈ ℙ)
55 simp2r 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐹)
56 simp1r 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐽𝐺)
57 breq1 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 = 𝐽 → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
58573ad2ant3 1127 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼𝐺𝐽𝐺))
5956, 58mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → 𝐼𝐺)
6054, 55, 593jca 1120 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) ∧ (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) ∧ 𝐼 = 𝐽) → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))
61603exp 1111 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → ((𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6253, 61syl5bi 243 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ ℙ ∧ 𝐽𝐺) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6346, 62sylbi 218 . . . . . 6 (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6463a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐽 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6535, 64syl5bir 244 . . . 4 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐺} → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))))
6633, 65mpd 15 . . 3 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6720, 66syl5bir 244 . 2 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝐹} → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺))))
6818, 67mpd 15 1 ((𝐹 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐼 = 𝐽 → (𝐼 ∈ ℙ ∧ 𝐼𝐹𝐼𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  {crab 3139  wss 3933  c0 4288   class class class wbr 5057   Or wor 5466  cfv 6348  Fincfn 8497  infcinf 8893  cr 10524   < clt 10663  cn 11626  2c2 11680  cuz 12231  cdvds 15595  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  43626
  Copyright terms: Public domain W3C validator