Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmexpb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmexpb 15349
 Description: Two positive prime powers are equal iff the primes and the powers are equal. (Contributed by Paul Chapman, 30-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
prmexpb (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁)))

Proof of Theorem prmexpb
StepHypRef Expression
1 prmz 15308 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
21adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
323ad2ant1 1080 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∈ ℤ)
4 simp2l 1085 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
5 iddvdsexp 14924 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
63, 4, 5syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∥ (𝑃𝑀))
7 breq2 4622 . . . . . . 7 ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄𝑁)))
873ad2ant3 1082 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 𝑃 ∥ (𝑄𝑁)))
9 simp1l 1083 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∈ ℙ)
10 simp1r 1084 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑄 ∈ ℙ)
11 simp2r 1086 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
12 prmdvdsexpb 15347 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
139, 10, 11, 12syl3anc 1323 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑄𝑁) ↔ 𝑃 = 𝑄))
148, 13bitrd 268 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 ∥ (𝑃𝑀) ↔ 𝑃 = 𝑄))
156, 14mpbid 222 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 = 𝑄)
163zred 11426 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑃 ∈ ℝ)
174nnzd 11425 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1811nnzd 11425 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 prmgt1 15328 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
2019ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑃)
21203adant3 1079 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 1 < 𝑃)
22 simp3 1061 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁))
2315oveq1d 6620 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃𝑁) = (𝑄𝑁))
2422, 23eqtr4d 2663 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃𝑀) = (𝑃𝑁))
2516, 17, 18, 21, 24expcand 12977 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
2615, 25jca 554 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁)) → (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁))
27263expia 1264 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) → (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁)))
28 oveq12 6614 . 2 ((𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁) → (𝑃𝑀) = (𝑄𝑁))
2927, 28impbid1 215 1 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑃𝑀) = (𝑄𝑁) ↔ (𝑃 = 𝑄𝑀 = 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  1c1 9882   < clt 10019  ℕcn 10965  ℤcz 11322  ↑cexp 12797   ∥ cdvds 14902  ℙcprime 15304 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-gcd 15136  df-prm 15305 This theorem is referenced by:  fsumvma  24833
 Copyright terms: Public domain W3C validator