Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem1 15479
 Description: Lemma for prmgap 15489: The factorial of a number plus an integer greater than 1 and less then or equal to the number is divisible by that integer. (Contributed by AV, 13-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))

Proof of Theorem prmgaplem1
StepHypRef Expression
1 elfzuz 12073 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ (ℤ‘2))
2 eluz2nn 11462 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (ℤ‘2) → 𝐼 ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℕ)
4 elfzuz3 12074 . . . . 5 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐼))
53, 4jca 552 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)))
65adantl 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)))
7 dvdsfac 14750 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐼)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
86, 7syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ (!‘𝑁))
9 elfzelz 12077 . . . 4 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼 ∈ ℤ)
10 iddvds 14697 . . . 4 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼𝐼)
119, 10syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ (2...𝑁) → 𝐼𝐼)
1211adantl 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼𝐼)
139adantl 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∈ ℤ)
14 nnnn0 11052 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
15 faccl 12796 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
1716nnzd 11219 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
1817adantr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → (!‘𝑁) ∈ ℤ)
19 dvds2add 14717 . . 3 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → ((𝐼 ∥ (!‘𝑁) ∧ 𝐼𝐼) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼)))
2013, 18, 13, 19syl3anc 1317 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → ((𝐼 ∥ (!‘𝑁) ∧ 𝐼𝐼) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼)))
218, 12, 20mp2and 710 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (2...𝑁)) → 𝐼 ∥ ((!‘𝑁) + 𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∈ wcel 1938   class class class wbr 4481  ‘cfv 5689  (class class class)co 6425   + caddc 9692  ℕcn 10773  2c2 10823  ℕ0cn0 11045  ℤcz 11116  ℤ≥cuz 11423  ...cfz 12061  !cfa 12786   ∥ cdvds 14685 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-nn 10774  df-2 10832  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-fz 12062  df-seq 12528  df-fac 12787  df-dvds 14686 This theorem is referenced by:  prmgaplem2  15480
 Copyright terms: Public domain W3C validator