MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem4 15693
Description: Lemma for prmgap 15698. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
prmgaplem4.a 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
Assertion
Ref Expression
prmgaplem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3671 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ
21a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ)
3 prmssnn 15325 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
4 nnssre 10976 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3596 . . . 4 ℙ ⊆ ℝ
62, 5syl6ss 3599 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ)
7 fzfid 12720 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8 breq2 4622 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑖))
9 breq1 4621 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝𝑃𝑖𝑃))
108, 9anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
1110elrab 3350 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
12 nnz 11351 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13 prmz 15324 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1412, 13anim12i 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15143adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16 prmz 15324 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
1716adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
1815, 17anim12i 589 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19 df-3an 1038 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
2018, 19sylibr 224 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21 nnre 10979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
235sseli 3583 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24 ltle 10078 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2522, 23, 24syl2an 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2625anim1d 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
2726ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
28273adant3 1079 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
2928imp32 449 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))
30 elfz2 12283 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
3120, 29, 30sylanbrc 697 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
3231ex 450 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3311, 32syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3433ssrdv 3593 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
35 ssfi 8132 . . . 4 (((𝑁...𝑃) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin)
367, 34, 35syl2anc 692 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin)
37 simp2 1060 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
38 prmnn 15323 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3938nnred 10987 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4039leidd 10546 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
4140anim1i 591 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑃𝑃𝑁 < 𝑃))
4241ancomd 467 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
43423adant1 1077 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
44 breq2 4622 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑃))
45 breq1 4621 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑃𝑃𝑃))
4644, 45anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃)))
4746elrab 3350 . . . . 5 (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃)))
4837, 43, 47sylanbrc 697 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)})
49 ne0i 3902 . . . 4 (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)
5048, 49syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)
51 prmgaplem4.a . . . 4 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
52 sseq1 3610 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ))
53 eleq1 2686 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin))
54 neeq1 2852 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
5552, 53, 543anbi123d 1396 . . . 4 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)))
5651, 55ax-mp 5 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
576, 36, 50, 56syl3anbrc 1244 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
58 fiminre 10924 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5957, 58syl 17 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  wss 3559  c0 3896   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cr 9887   < clt 10026  cle 10027  cn 10972  cz 11329  ...cfz 12276  cprime 15320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-prm 15321
This theorem is referenced by:  prmgaplem6  15695
  Copyright terms: Public domain W3C validator