MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem5 15961
Description: Lemma for prmgap 15965: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 3499 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
21ad2antlr 765 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3 breq1 4807 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
4 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
54oveq1d 6828 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
65raleqdv 3283 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
73, 6anbi12d 749 . . . 4 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
87adantl 473 . . 3 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9 breq1 4807 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
109elrab 3504 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
1110simprbi 483 . . . . 5 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
1211ad2antlr 765 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13 elfzo2 12667 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
15 simpr3 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
16 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁𝑧 < 𝑁))
1716elrab 3504 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 < 𝑁))
1814, 15, 17sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
1918adantrl 754 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
20 eluz2 11885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
21 prmz 15591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
22 zltp1le 11619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
2321, 22sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
24 prmnn 15590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
2524nnred 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
26 zre 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
27 ltnle 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑟))
2827biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
2925, 26, 28syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
30 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑧𝑟 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
3129, 30syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3223, 31sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3332expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3433com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))))
36353imp 1102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3720, 36sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
38373ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
391, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
4039adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
4140imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4319, 42embantd 59 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4443ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
45 df-nel 3036 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
46 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4746a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4845, 47sylbir 225 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4944, 48pm2.61i 176 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
5049impancom 455 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
5113, 50syl5bi 232 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
5251ex 449 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
5352ralimdv2 3099 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
5453imp 444 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
5512, 54jca 555 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
562, 8, 55rspcedvd 3456 . 2 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
57 eqid 2760 . . 3 {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
5857prmgaplem3 15959 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟)
5956, 58r19.29a 3216 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wnel 3035  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  3c3 11263  cz 11569  cuz 11879  ..^cfzo 12659  cprime 15587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-prm 15588
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15963
  Copyright terms: Public domain W3C validator