MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem5 15543
Description: Lemma for prmgap 15547: for each integer greater than 2 there is a smaller prime closest to this integer, i.e. there is a smaller prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem5
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrabi 3327 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 ∈ ℙ)
21ad2antlr 758 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 ∈ ℙ)
3 breq1 4580 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
4 oveq1 6534 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝 + 1) = (𝑟 + 1))
54oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 + 1)..^𝑁) = ((𝑟 + 1)..^𝑁))
65raleqdv 3120 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ ↔ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
73, 6anbi12d 742 . . . 4 (𝑝 = 𝑟 → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
87adantl 480 . . 3 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) ∧ 𝑝 = 𝑟) → ((𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ) ↔ (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)))
9 breq1 4580 . . . . . . 7 (𝑞 = 𝑟 → (𝑞 < 𝑁𝑟 < 𝑁))
109elrab 3330 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑟 < 𝑁))
1110simprbi 478 . . . . 5 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑟 < 𝑁)
1211ad2antlr 758 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → 𝑟 < 𝑁)
13 elfzo2 12297 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))
14 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ ℙ)
15 simpr3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 < 𝑁)
16 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 = 𝑧 → (𝑞 < 𝑁𝑧 < 𝑁))
1716elrab 3330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑧 < 𝑁))
1814, 15, 17sylanbrc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
1918adantrl 747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁})
20 eluz2 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ↔ ((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
21 prmz 15173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
22 zltp1le 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
2321, 22sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧))
24 prmnn 15172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℕ)
2524nnred 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℝ)
26 zre 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
27 ltnle 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 ↔ ¬ 𝑧𝑟))
2827biimpd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
2925, 26, 28syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → ¬ 𝑧𝑟))
30 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑧𝑟 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
3129, 30syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑟 < 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3223, 31sylbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑟 ∈ ℙ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3332expcom 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑟 ∈ ℙ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3433com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))))
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑟 + 1) ∈ ℤ → (𝑧 ∈ ℤ → ((𝑟 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))))
36353imp 1248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑟 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑟 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
3720, 36sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
38373ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑟 ∈ ℙ → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
391, 38syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
4039adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ)))
4140imp 443 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4241adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → (𝑧𝑟𝑧 ∉ ℙ))
4319, 42embantd 56 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4443ex 448 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
45 df-nel 2782 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
46 ax-1 6 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
4746a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4845, 47sylbir 223 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ)))
4944, 48pm2.61i 174 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → 𝑧 ∉ ℙ))
5049impancom 454 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑟 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
5113, 50syl5bi 230 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟)) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ))
5251ex 448 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} → 𝑧𝑟) → (𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁) → 𝑧 ∉ ℙ)))
5352ralimdv2 2943 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
5453imp 443 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ)
5512, 54jca 552 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → (𝑟 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑟 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
562, 8, 55rspcedvd 3288 . 2 (((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ 𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
57 eqid 2609 . . 3 {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}
5857prmgaplem3 15541 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑟 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ 𝑞 < 𝑁}𝑧𝑟)
5956, 58r19.29a 3059 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 < 𝑁 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑝 + 1)..^𝑁)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wnel 2780  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  3c3 10918  cz 11210  cuz 11519  ..^cfzo 12289  cprime 15169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768  df-prm 15170
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15545
  Copyright terms: Public domain W3C validator