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Theorem prmgaplem6 15684
Description: Lemma for prmgap 15687: for each positive integer there is a greater prime closest to this integer, i.e. there is a greater prime and no other prime is between this prime and the integer. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmgaplem6 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
Distinct variable group:   𝑁,𝑝,𝑧

Proof of Theorem prmgaplem6
Dummy variables 𝑛 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmunb 15542 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛)
2 eqid 2621 . . . . 5 {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} = {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}
32prmgaplem4 15682 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧)
4 breq2 4617 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑝 → (𝑁 < 𝑞𝑁 < 𝑝))
5 breq1 4616 . . . . . . . . 9 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞𝑛𝑝𝑛))
64, 5anbi12d 746 . . . . . . . 8 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑁 < 𝑞𝑞𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))
76elrab 3346 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} ↔ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))
8 simplrl 799 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → 𝑝 ∈ ℙ)
9 simprrl 803 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → 𝑁 < 𝑝)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → 𝑁 < 𝑝)
11 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ ℙ)
12 elfzo2 12414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝))
13 eluz2 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
14 nnz 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15 prmz 15313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℤ)
16 zltp1le 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
1714, 15, 16syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑧 ↔ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧))
1817exbiri 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑁 < 𝑧)))
19183ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑁 < 𝑧)))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑁 < 𝑧)))
2120impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑁 < 𝑧))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
2322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → 𝑁 < 𝑧))
2524imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))))) → 𝑁 < 𝑧)
26 prmnn 15312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℕ)
2726nnred 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑧 ∈ ℙ → 𝑧 ∈ ℝ)
2827ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
29 prmnn 15312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
3029nnred 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℝ)
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑝 ∈ ℝ)
33 prmnn 15312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℕ)
3433nnred 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑛 ∈ ℙ → 𝑛 ∈ ℝ)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → 𝑛 ∈ ℝ)
36 ltleletr 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑝𝑝𝑛) → 𝑧𝑛))
3728, 32, 35, 36syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑛 ∈ ℙ ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ)) → ((𝑧 < 𝑝𝑝𝑛) → 𝑧𝑛))
3837exp4b 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑛 ∈ ℙ → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝𝑛𝑧𝑛))))
39383ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝𝑛𝑧𝑛))))
4039expdcom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 < 𝑝 → (𝑝𝑛𝑧𝑛)))))
4140com45 97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ ℙ → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝𝑛 → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛)))))
4241com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝𝑛 → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛)))))
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑛) → (𝑝 ∈ ℙ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛)))))
4443impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛))))
4544impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → (𝑧 ∈ ℙ → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛)))
4645impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝𝑧𝑛))
4746adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → ((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) → 𝑧𝑛))
4847impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))))) → 𝑧𝑛)
4925, 48jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑁 + 1) ≤ 𝑧𝑝 ∈ ℤ) ∧ 𝑧 < 𝑝) ∧ (𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛))
5049exp41 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 + 1) ≤ 𝑧 → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))))
51503ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑧) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))))
5213, 51sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑝 ∈ ℤ → (𝑧 < 𝑝 → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))))
53523imp 1254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑧 < 𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))
5412, 53sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))
5554impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛))
56 breq2 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑧 → (𝑁 < 𝑞𝑁 < 𝑧))
57 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 = 𝑧 → (𝑞𝑛𝑧𝑛))
5856, 57anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 = 𝑧 → ((𝑁 < 𝑞𝑞𝑛) ↔ (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))
5958elrab 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} ↔ (𝑧 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑧𝑧𝑛)))
6011, 55, 59sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → 𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)})
61 elfzolt2 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 < 𝑝)
6230ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → 𝑝 ∈ ℝ)
63 ltnle 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 ↔ ¬ 𝑝𝑧))
6463biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝𝑧))
6527, 62, 64syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑧 < 𝑝 → ¬ 𝑝𝑧))
6665imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → ¬ 𝑝𝑧)
6766pm2.21d 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 < 𝑝) → (𝑝𝑧𝑧 ∉ ℙ))
6861, 67sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → (𝑝𝑧𝑧 ∉ ℙ))
6960, 68embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) ∧ 𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ))
7069ex 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → 𝑧 ∉ ℙ)))
7170com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℙ ∧ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
7271ex 450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
73 df-nel 2894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∉ ℙ ↔ ¬ 𝑧 ∈ ℙ)
74 ax-1 6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∉ ℙ → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))
7574a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∉ ℙ → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∉ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
7773, 76sylbir 225 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ ℙ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ))))
7872, 77pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → ((𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → 𝑝𝑧) → (𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝) → 𝑧 ∉ ℙ)))
7978ralimdv2 2955 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
8079imp 445 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)
818, 10, 80jca32 557 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
8281ex 450 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛))) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))
8382ex 450 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑛)) → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
847, 83syl5bi 232 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} → (∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))))
8584impd 447 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ((𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)} ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧) → (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))))
8685reximdv2 3008 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → (∃𝑝 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}∀𝑧 ∈ {𝑞 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑞𝑞𝑛)}𝑝𝑧 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
873, 86mpd 15 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑛) → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
8887rexlimdv3a 3026 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (∃𝑛 ∈ ℙ 𝑁 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ)))
891, 88mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑁 < 𝑝 ∧ ∀𝑧 ∈ ((𝑁 + 1)..^𝑝)𝑧 ∉ ℙ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wnel 2893  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  cz 11321  cuz 11631  ..^cfzo 12406  cprime 15309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310
This theorem is referenced by:  prmgaplem7  15685
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