MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem0 15532
Description: Lemma for prmlem1 15534 and prmlem2 15547. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem0.1 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
prmlem0.2 (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)
prmlem0.3 (𝐾 + 2) = 𝑀
Assertion
Ref Expression
prmlem0 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem prmlem0
StepHypRef Expression
1 eldifi 3598 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑥 ∈ ℙ)
2 prmlem0.2 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)
3 eleq1 2580 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ ↔ 𝐾 ∈ ℙ))
4 breq1 4484 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥𝑁𝐾𝑁))
54notbid 306 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐾 → (¬ 𝑥𝑁 ↔ ¬ 𝐾𝑁))
63, 5imbi12d 332 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℙ → ¬ 𝐾𝑁)))
72, 6mpbiri 246 . . . . 5 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ ℙ → ¬ 𝑥𝑁))
81, 7syl5 33 . . . 4 (𝑥 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
98adantrd 482 . . 3 (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
109a1i 11 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = 𝐾 → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
11 uzp1 11460 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1))))
12 eleq1 2580 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐾 + 1) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
1312adantl 480 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2})))
14 eldifsn 4163 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ ((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2))
15 eluzel2 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
1615adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℤ)
17 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝐾)
18 1z 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℤ
19 n2dvds1 14809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ¬ 2 ∥ 1
20 opoe 14792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 1)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2118, 19, 20mpanr12 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐾) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2216, 17, 21syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
2322adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 ∥ (𝐾 + 1))
24 2z 11149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
25 uzid 11441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 2 ∈ (ℤ‘2))
27 dvdsprm 15127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
2826, 27sylan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (2 ∥ (𝐾 + 1) ↔ 2 = (𝐾 + 1)))
2923, 28mpbid 220 . . . . . . . . . . . . 13 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → 2 = (𝐾 + 1))
3029eqcomd 2520 . . . . . . . . . . . 12 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝐾 + 1) = 2)
3130a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥𝑁 → (𝐾 + 1) = 2))
3231necon3ad 2699 . . . . . . . . . 10 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ (𝐾 + 1) ∈ ℙ) → ((𝐾 + 1) ≠ 2 → ¬ 𝑥𝑁))
3332expimpd 626 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (((𝐾 + 1) ∈ ℙ ∧ (𝐾 + 1) ≠ 2) → ¬ 𝑥𝑁))
3414, 33syl5bi 230 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3534adantr 479 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝐾 + 1) ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3613, 35sylbid 228 . . . . . 6 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ¬ 𝑥𝑁))
3736adantrd 482 . . . . 5 (((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) ∧ 𝑥 = (𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
3837ex 448 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = (𝐾 + 1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
3916zcnd 11222 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾 ∈ ℂ)
40 ax-1cn 9748 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
41 addass 9777 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
4240, 40, 41mp3an23 1407 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℂ → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
4339, 42syl 17 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = (𝐾 + (1 + 1)))
44 1p1e2 10888 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
4544oveq2i 6436 . . . . . . . . 9 (𝐾 + (1 + 1)) = (𝐾 + 2)
46 prmlem0.3 . . . . . . . . 9 (𝐾 + 2) = 𝑀
4745, 46eqtri 2536 . . . . . . . 8 (𝐾 + (1 + 1)) = 𝑀
4843, 47syl6eq 2564 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝐾 + 1) + 1) = 𝑀)
4948fveq2d 5990 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
5049eleq2d 2577 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) ↔ 𝑥 ∈ (ℤ𝑀)))
51 dvdsaddr 14730 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
5224, 16, 51sylancr 693 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ (𝐾 + 2)))
5346breq2i 4489 . . . . . . . 8 (2 ∥ (𝐾 + 2) ↔ 2 ∥ 𝑀)
5452, 53syl6bb 274 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 ∥ 𝐾 ↔ 2 ∥ 𝑀))
5517, 54mtbid 312 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ¬ 2 ∥ 𝑀)
56 prmlem0.1 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
5756ex 448 . . . . . 6 (¬ 2 ∥ 𝑀 → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
5855, 57syl 17 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
5950, 58sylbid 228 . . . 4 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
6038, 59jaod 393 . . 3 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 = (𝐾 + 1) ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘((𝐾 + 1) + 1))) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
6111, 60syl5 33 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁)))
62 uzp1 11460 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ𝐾) → (𝑥 = 𝐾𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
6362adantl 480 . 2 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑥 = 𝐾𝑥 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))))
6410, 61, 63mpjaod 394 1 ((¬ 2 ∥ 𝐾𝑥 ∈ (ℤ𝐾)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  cdif 3441  {csn 4028   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6425  cc 9688  1c1 9691   + caddc 9693  cle 9829  2c2 10824  cz 11117  cuz 11426  cexp 12589  cdvds 14688  cprime 15097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-2o 7323  df-oadd 7326  df-er 7504  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-fin 7720  df-sup 8106  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-n0 11047  df-z 11118  df-uz 11427  df-rp 11574  df-seq 12531  df-exp 12590  df-cj 13544  df-re 13545  df-im 13546  df-sqrt 13680  df-abs 13681  df-dvds 14689  df-prm 15098
This theorem is referenced by:  prmlem1a  15533  prmlem2  15547
  Copyright terms: Public domain W3C validator