MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1 16429
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt 1 < 𝑁
prmlem1.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1.lt 𝑁 < 25
Assertion
Ref Expression
prmlem1 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem1.gt . 2 1 < 𝑁
3 prmlem1.2 . 2 ¬ 2 ∥ 𝑁
4 prmlem1.3 . 2 ¬ 3 ∥ 𝑁
5 eluzelre 12242 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑥 ∈ ℝ)
65resqcld 13599 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7 eluzle 12244 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑥)
8 5re 11712 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℝ
9 5nn0 11905 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
109nn0ge0i 11912 . . . . . . . . 9 0 ≤ 5
11 le2sq2 13488 . . . . . . . . 9 (((5 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 5) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥)) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
128, 10, 11mpanl12 698 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
135, 7, 12syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
141nnrei 11635 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℝ
158resqcli 13537 . . . . . . . 8 (5↑2) ∈ ℝ
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10 𝑁 < 25
17 5cn 11713 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
1817sqvali 13531 . . . . . . . . . . 11 (5↑2) = (5 · 5)
19 5t5e25 12189 . . . . . . . . . . 11 (5 · 5) = 25
2018, 19eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 (5↑2) = 25
2116, 20breqtrri 5084 . . . . . . . . 9 𝑁 < (5↑2)
22 ltletr 10720 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (5↑2) ∧ (5↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2321, 22mpani 692 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2414, 15, 23mp3an12 1442 . . . . . . 7 ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
256, 13, 24sylc 65 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑁 < (𝑥↑2))
26 ltnle 10708 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2714, 6, 26sylancr 587 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2825, 27mpbid 233 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
2928pm2.21d 121 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
3029adantld 491 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
3130adantl 482 . 2 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 16428 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  cdif 3930  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  5c5 11683  cdc 12086  cuz 12231  cexp 13417  cdvds 15595  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  5prm  16430  7prm  16432  11prm  16436  13prm  16437  17prm  16438  19prm  16439  23prm  16440
  Copyright terms: Public domain W3C validator