MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1 15861
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt 1 < 𝑁
prmlem1.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1.lt 𝑁 < 25
Assertion
Ref Expression
prmlem1 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem prmlem1
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . 2 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem1.gt . 2 1 < 𝑁
3 prmlem1.2 . 2 ¬ 2 ∥ 𝑁
4 prmlem1.3 . 2 ¬ 3 ∥ 𝑁
5 eluzelre 11736 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑥 ∈ ℝ)
65resqcld 13075 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
7 eluzle 11738 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 5 ≤ 𝑥)
8 5re 11137 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℝ
9 5nn0 11350 . . . . . . . . . 10 5 ∈ ℕ0
109nn0ge0i 11358 . . . . . . . . 9 0 ≤ 5
11 le2sq2 12979 . . . . . . . . 9 (((5 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 5) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥)) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
128, 10, 11mpanl12 718 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 5 ≤ 𝑥) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
135, 7, 12syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (5↑2) ≤ (𝑥↑2))
141nnrei 11067 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℝ
158resqcli 12989 . . . . . . . 8 (5↑2) ∈ ℝ
16 prmlem1.lt . . . . . . . . . 10 𝑁 < 25
17 5cn 11138 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℂ
1817sqvali 12983 . . . . . . . . . . 11 (5↑2) = (5 · 5)
19 5t5e25 11677 . . . . . . . . . . 11 (5 · 5) = 25
2018, 19eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 (5↑2) = 25
2116, 20breqtrri 4712 . . . . . . . . 9 𝑁 < (5↑2)
22 ltletr 10167 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (5↑2) ∧ (5↑2) ≤ (𝑥↑2)) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2321, 22mpani 712 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (5↑2) ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
2414, 15, 23mp3an12 1454 . . . . . . 7 ((𝑥↑2) ∈ ℝ → ((5↑2) ≤ (𝑥↑2) → 𝑁 < (𝑥↑2)))
256, 13, 24sylc 65 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → 𝑁 < (𝑥↑2))
26 ltnle 10155 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑥↑2) ∈ ℝ) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2714, 6, 26sylancr 696 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → (𝑁 < (𝑥↑2) ↔ ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁))
2825, 27mpbid 222 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ¬ (𝑥↑2) ≤ 𝑁)
2928pm2.21d 118 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
3029adantld 482 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘5) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
3130adantl 481 . 2 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
321, 2, 3, 4, 31prmlem1a 15860 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  5c5 11111  cdc 11531  cuz 11725  cexp 12900  cdvds 15027  cprime 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433
This theorem is referenced by:  5prm  15862  7prm  15864  11prm  15869  13prm  15870  17prm  15871  19prm  15872  23prm  15873
  Copyright terms: Public domain W3C validator