MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmlem1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmlem1a 15597
Description: A quick proof skeleton to show that the numbers less than 25 are prime, by trial division. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
prmlem1.n 𝑁 ∈ ℕ
prmlem1.gt 1 < 𝑁
prmlem1.2 ¬ 2 ∥ 𝑁
prmlem1.3 ¬ 3 ∥ 𝑁
prmlem1a.x ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
Assertion
Ref Expression
prmlem1a 𝑁 ∈ ℙ
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem prmlem1a
StepHypRef Expression
1 prmlem1.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
2 prmlem1.gt . . 3 1 < 𝑁
3 eluz2b2 11593 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
41, 2, 3mpbir2an 956 . 2 𝑁 ∈ (ℤ‘2)
5 breq1 4580 . . . . . 6 (𝑥 = 2 → (𝑥𝑁 ↔ 2 ∥ 𝑁))
65notbid 306 . . . . 5 (𝑥 = 2 → (¬ 𝑥𝑁 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑁))
76imbi2d 328 . . . 4 (𝑥 = 2 → (((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁) ↔ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁)))
8 prmnn 15172 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℕ)
98adantr 479 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → 𝑥 ∈ ℕ)
10 eldifsn 4259 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2))
11 n2dvds1 14888 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ∥ 1
12 prmlem1a.x . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 5 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘5)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
13 prmlem1.3 . . . . . . . . . . . 12 ¬ 3 ∥ 𝑁
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (3 ∈ ℙ → ¬ 3 ∥ 𝑁)
15 3p2e5 11007 . . . . . . . . . . 11 (3 + 2) = 5
1612, 14, 15prmlem0 15596 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 3 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
17 1nprm 15176 . . . . . . . . . . 11 ¬ 1 ∈ ℙ
1817pm2.21i 114 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℙ → ¬ 1 ∥ 𝑁)
19 1p2e3 10999 . . . . . . . . . 10 (1 + 2) = 3
2016, 18, 19prmlem0 15596 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 1 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
2111, 20mpan 701 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ‘1) → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
22 nnuz 11555 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
2321, 22eleq2s 2705 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥↑2) ≤ 𝑁) → ¬ 𝑥𝑁))
2423expd 450 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)))
2510, 24syl5bir 231 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ → ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)))
269, 25mpcom 37 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ≠ 2) → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
27 prmlem1.2 . . . . 5 ¬ 2 ∥ 𝑁
28272a1i 12 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 2 ∥ 𝑁))
297, 26, 28pm2.61ne 2866 . . 3 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁))
3029rgen 2905 . 2 𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)
31 isprm5 15203 . 2 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑥 ∈ ℙ ((𝑥↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑥𝑁)))
324, 30, 31mpbir2an 956 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  cdif 3536  {csn 4124   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  1c1 9793   < clt 9930  cle 9931  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  5c5 10920  cuz 11519  cexp 12677  cdvds 14767  cprime 15169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768  df-prm 15170
This theorem is referenced by:  prmlem1  15598  prmlem2  15611
  Copyright terms: Public domain W3C validator