MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmo5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmo5 15767
Description: The primorial of 5. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmo5 (#p‘5) = 30

Proof of Theorem prmo5
StepHypRef Expression
1 5nn 11139 . . 3 5 ∈ ℕ
2 prmonn2 15674 . . 3 (5 ∈ ℕ → (#p‘5) = if(5 ∈ ℙ, ((#p‘(5 − 1)) · 5), (#p‘(5 − 1))))
31, 2ax-mp 5 . 2 (#p‘5) = if(5 ∈ ℙ, ((#p‘(5 − 1)) · 5), (#p‘(5 − 1)))
4 5prm 15746 . . . 4 5 ∈ ℙ
54iftruei 4070 . . 3 if(5 ∈ ℙ, ((#p‘(5 − 1)) · 5), (#p‘(5 − 1))) = ((#p‘(5 − 1)) · 5)
6 4p1e5 11105 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
7 5cn 11051 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
8 ax-1cn 9945 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
9 4cn 11049 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
107, 8, 9subadd2i 10320 . . . . . . . 8 ((5 − 1) = 4 ↔ (4 + 1) = 5)
116, 10mpbir 221 . . . . . . 7 (5 − 1) = 4
1211fveq2i 6156 . . . . . 6 (#p‘(5 − 1)) = (#p‘4)
13 prmo4 15766 . . . . . 6 (#p‘4) = 6
1412, 13eqtri 2643 . . . . 5 (#p‘(5 − 1)) = 6
1514oveq1i 6620 . . . 4 ((#p‘(5 − 1)) · 5) = (6 · 5)
16 6t5e30 11595 . . . 4 (6 · 5) = 30
1715, 16eqtri 2643 . . 3 ((#p‘(5 − 1)) · 5) = 30
185, 17eqtri 2643 . 2 if(5 ∈ ℙ, ((#p‘(5 − 1)) · 5), (#p‘(5 − 1))) = 30
193, 18eqtri 2643 1 (#p‘5) = 30
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  ifcif 4063  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9887  1c1 9888   + caddc 9890   · cmul 9892  cmin 10217  cn 10971  3c3 11022  4c4 11023  5c5 11024  6c6 11025  cdc 11444  cprime 15316  #pcprmo 15666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-prod 14568  df-dvds 14915  df-prm 15317  df-prmo 15667
This theorem is referenced by:  prmo6  15768
  Copyright terms: Public domain W3C validator