MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmop1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmop1 15789
Description: The primorial of a successor. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmop1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))

Proof of Theorem prmop1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11371 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 prmoval 15784 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4 nn0p1nn 11370 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5 elnnuz 11762 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
64, 5sylib 208 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
7 elfzelz 12380 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
87zcnd 11521 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℂ)
98adantl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
10 1cnd 10094 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
119, 10ifcld 4164 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
12 eleq1 2718 . . . 4 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑘 ∈ ℙ ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℙ))
13 id 22 . . . 4 (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝑘 = (𝑁 + 1))
1412, 13ifbieq1d 4142 . . 3 (𝑘 = (𝑁 + 1) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1))
156, 11, 14fprodm1 14741 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)))
16 nn0cn 11340 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
17 pncan1 10492 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1816, 17syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1918oveq2d 6706 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
2019prodeq1d 14695 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
2120oveq1d 6705 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)))
22 prmoval 15784 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
2322eqcomd 2657 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (#p𝑁))
2423adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = (#p𝑁))
2524oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)))
26 iftrue 4125 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1) = (𝑁 + 1))
2726oveq2d 6706 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)))
28 iftrue 4125 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) = ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)))
2927, 28eqeq12d 2666 . . . . . 6 ((𝑁 + 1) ∈ ℙ → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p𝑁) · (𝑁 + 1))))
3029adantr 480 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · (𝑁 + 1)) = ((#p𝑁) · (𝑁 + 1))))
3125, 30mpbird 247 . . . 4 (((𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
32 fzfid 12812 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
33 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
34 1nn 11069 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℕ)
3633, 35ifcld 4164 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
3736adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
3832, 37fprodnncl 14729 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℕ)
3938nncnd 11074 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
4039adantl 481 . . . . . . 7 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ ℂ)
4140mulid1d 10095 . . . . . 6 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4222adantl 481 . . . . . 6 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#p𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4341, 42eqtr4d 2688 . . . . 5 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p𝑁))
44 iffalse 4128 . . . . . . . 8 (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1) = 1)
4544oveq2d 6706 . . . . . . 7 (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1))
46 iffalse 4128 . . . . . . 7 (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) = (#p𝑁))
4745, 46eqeq12d 2666 . . . . . 6 (¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p𝑁)))
4847adantr 480 . . . . 5 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)) ↔ (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · 1) = (#p𝑁)))
4943, 48mpbird 247 . . . 4 ((¬ (𝑁 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
5031, 49pm2.61ian 848 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
5121, 50eqtrd 2685 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∏𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) · if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, (𝑁 + 1), 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
523, 15, 513eqtrd 2689 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) ∈ ℙ, ((#p𝑁) · (𝑁 + 1)), (#p𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  ifcif 4119  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cuz 11725  ...cfz 12364  cprod 14679  cprime 15432  #pcprmo 15782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680  df-prmo 15783
This theorem is referenced by:  prmonn2  15790
  Copyright terms: Public domain W3C validator