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Theorem prmpwdvds 15334
Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
prmpwdvds (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷)

Proof of Theorem prmpwdvds
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 785 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 oveq2 6433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑃𝑥) = (𝑃↑1))
32oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝑘 · (𝑃𝑥)) = (𝑘 · (𝑃↑1)))
43breq2d 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1))))
5 oveq1 6432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 1 → (𝑥 − 1) = (1 − 1))
65oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝑃↑(𝑥 − 1)) = (𝑃↑(1 − 1)))
76oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))))
87breq2d 4493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))))
98notbid 306 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))))
104, 9anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))))))
112breq1d 4491 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 1 → ((𝑃𝑥) ∥ 𝐷 ↔ (𝑃↑1) ∥ 𝐷))
1210, 11imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 1 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷)))
1312ralbidv 2873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷)))
1413imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷))))
15 oveq2 6433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑛 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑛))
1615oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑛 → (𝑘 · (𝑃𝑥)) = (𝑘 · (𝑃𝑛)))
1716breq2d 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))))
18 oveq1 6432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 − 1) = (𝑛 − 1))
1918oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑛 → (𝑃↑(𝑥 − 1)) = (𝑃↑(𝑛 − 1)))
2019oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑛 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))))
2120breq2d 4493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑛 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))
2221notbid 306 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑛 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))
2317, 22anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))))))
2415breq1d 4491 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑃𝑥) ∥ 𝐷 ↔ (𝑃𝑛) ∥ 𝐷))
2523, 24imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑛 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷)))
2625ralbidv 2873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑛 → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷)))
2726imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷))))
28 oveq2 6433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃↑(𝑛 + 1)))
2928oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑘 · (𝑃𝑥)) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))))
3029breq2d 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1)))))
31 oveq1 6432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
3231oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑃↑(𝑥 − 1)) = (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))
3332oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))))
3433breq2d 4493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))))
3534notbid 306 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))))
3630, 35anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))))))
3728breq1d 4491 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑃𝑥) ∥ 𝐷 ↔ (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))
3836, 37imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
3938ralbidv 2873 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
4039imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))))
41 oveq2 6433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑁))
4241oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (𝑘 · (𝑃𝑥)) = (𝑘 · (𝑃𝑁)))
4342breq2d 4493 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁))))
44 oveq1 6432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 − 1) = (𝑁 − 1))
4544oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑁 → (𝑃↑(𝑥 − 1)) = (𝑃↑(𝑁 − 1)))
4645oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑁 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))
4746breq2d 4493 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑁 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))))
4847notbid 306 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑁 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))))
4943, 48anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))))
5041breq1d 4491 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑃𝑥) ∥ 𝐷 ↔ (𝑃𝑁) ∥ 𝐷))
5149, 50imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷)))
5251ralbidv 2873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷)))
5352imbi2d 328 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑥)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑥 − 1)))) → (𝑃𝑥) ∥ 𝐷)) ↔ ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷))))
54 breq1 4484 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐷 → (𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃)))
55 breq1 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐷 → (𝑥𝑘𝐷𝑘))
5655notbid 306 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐷 → (¬ 𝑥𝑘 ↔ ¬ 𝐷𝑘))
5754, 56anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐷 → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥𝑘) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷𝑘)))
58 breq2 4485 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐷 → (𝑃𝑥𝑃𝐷))
5957, 58imbi12d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐷 → (((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → 𝑃𝑥) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷𝑘) → 𝑃𝐷)))
6059imbi2d 328 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝐷 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → 𝑃𝑥)) ↔ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷𝑘) → 𝑃𝐷))))
61 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → 𝑃 ∈ ℙ)
62 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → 𝑥 ∈ ℤ)
63 coprm 15141 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
6461, 62, 63syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → (¬ 𝑃𝑥 ↔ (𝑃 gcd 𝑥) = 1))
65 zcn 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
6665ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
67 prmz 15107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
6867ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℤ)
6968zcnd 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
7066, 69mulcomd 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑃) = (𝑃 · 𝑘))
7170breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ↔ 𝑥 ∥ (𝑃 · 𝑘)))
72 simpl 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
73 gcdcom 14941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑃 gcd 𝑥) = (𝑥 gcd 𝑃))
7468, 72, 73syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 gcd 𝑥) = (𝑥 gcd 𝑃))
7574eqeq1d 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃 gcd 𝑥) = 1 ↔ (𝑥 gcd 𝑃) = 1))
7671, 75anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ (𝑃 gcd 𝑥) = 1) ↔ (𝑥 ∥ (𝑃 · 𝑘) ∧ (𝑥 gcd 𝑃) = 1)))
77 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
78 coprmdvds 15084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ (𝑃 · 𝑘) ∧ (𝑥 gcd 𝑃) = 1) → 𝑥𝑘))
7972, 68, 77, 78syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑃 · 𝑘) ∧ (𝑥 gcd 𝑃) = 1) → 𝑥𝑘))
8076, 79sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ (𝑃 gcd 𝑥) = 1) → 𝑥𝑘))
8180expdimp 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → ((𝑃 gcd 𝑥) = 1 → 𝑥𝑘))
8264, 81sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → (¬ 𝑃𝑥𝑥𝑘))
8382con1d 137 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)) → (¬ 𝑥𝑘𝑃𝑥))
8483expimpd 626 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → 𝑃𝑥))
8584ex 448 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → 𝑃𝑥)))
8660, 85vtoclga 3149 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷𝑘) → 𝑃𝐷)))
8786impl 647 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷𝑘) → 𝑃𝐷))
8867zcnd 11221 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
8988exp1d 12729 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑1) = 𝑃)
9089ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃↑1) = 𝑃)
9190oveq2d 6441 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑃↑1)) = (𝑘 · 𝑃))
9291breq2d 4493 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃)))
93 1m1e0 10842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 − 1) = 0
9493oveq2i 6436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃↑(1 − 1)) = (𝑃↑0)
9567ad2antlr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℤ)
9695zcnd 11221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℂ)
9796exp0d 12728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃↑0) = 1)
9894, 97syl5eq 2560 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃↑(1 − 1)) = 1)
9998oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))) = (𝑘 · 1))
10065adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℂ)
101100mulid1d 9810 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · 1) = 𝑘)
10299, 101eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))) = 𝑘)
103102breq2d 4493 . . . . . . . . . . 11 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))) ↔ 𝐷𝑘))
104103notbid 306 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1))) ↔ ¬ 𝐷𝑘))
10592, 104anbi12d 742 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝐷𝑘)))
10696exp1d 12729 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑃↑1) = 𝑃)
107106breq1d 4491 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑃↑1) ∥ 𝐷𝑃𝐷))
10887, 105, 1073imtr4d 281 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷))
109108ralrimiva 2853 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑1)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(1 − 1)))) → (𝑃↑1) ∥ 𝐷))
110 oveq1 6432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 · (𝑃𝑛)) = (𝑥 · (𝑃𝑛)))
111110breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛))))
112 oveq1 6432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑥 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))))
113112breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑥 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))
114113notbid 306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑥 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))
115111, 114anbi12d 742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))))))
116115imbi1d 329 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷)))
117116cbvralv 3051 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷))
118 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
11967ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℤ)
120118, 119zmulcld 11226 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
121 oveq1 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (𝑥 · (𝑃𝑛)) = ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)))
122121breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛))))
123 oveq1 6432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))))
124123breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))
125124notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))
126122, 125anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))))))
127126imbi1d 329 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑘 · 𝑃) → (((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷)))
128127rspcv 3182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷)))
129120, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷)))
130 nnnn0 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
131130ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
132 zexpcl 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑃𝑛) ∈ ℤ)
133119, 131, 132syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃𝑛) ∈ ℤ)
134 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝐷 ∈ ℤ)
135 divides 14687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑃𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) → ((𝑃𝑛) ∥ 𝐷 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷))
136133, 134, 135syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝑛) ∥ 𝐷 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷))
13784adantll 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → 𝑃𝑥))
138 prmnn 15106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
139138ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℕ)
140139nncnd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
141130ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
142140, 141expp1d 12735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) = ((𝑃𝑛) · 𝑃))
143139, 141nnexpcld 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃𝑛) ∈ ℕ)
144143nncnd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃𝑛) ∈ ℂ)
145144, 140mulcomd 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝑛) · 𝑃) = (𝑃 · (𝑃𝑛)))
146142, 145eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) = (𝑃 · (𝑃𝑛)))
147146oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) = (𝑘 · (𝑃 · (𝑃𝑛))))
14865ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
149148, 140, 144mulassd 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) = (𝑘 · (𝑃 · (𝑃𝑛))))
150147, 149eqtr4d 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) = ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)))
151150breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ↔ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛))))
152 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℤ)
153 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℤ)
154139nnzd 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℤ)
155153, 154zmulcld 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ)
156143nnzd 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃𝑛) ∈ ℤ)
157143nnne0d 10818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃𝑛) ≠ 0)
158 dvdsmulcr 14713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (𝑘 · 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑛) ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ↔ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)))
159152, 155, 156, 157, 158syl112anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ↔ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)))
160151, 159bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ↔ 𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃)))
161 dvdsmulcr 14713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑛) ≠ 0)) → ((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ↔ 𝑥𝑘))
162152, 153, 156, 157, 161syl112anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ↔ 𝑥𝑘))
163162notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (¬ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ↔ ¬ 𝑥𝑘))
164160, 163anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) ↔ (𝑥 ∥ (𝑘 · 𝑃) ∧ ¬ 𝑥𝑘)))
165146breq1d 4491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ↔ (𝑃 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛))))
166 dvdsmulcr 14713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ ((𝑃𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑃𝑛) ≠ 0)) → ((𝑃 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ↔ 𝑃𝑥))
167154, 152, 156, 157, 166syl112anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ↔ 𝑃𝑥))
168165, 167bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ↔ 𝑃𝑥))
169137, 164, 1683imtr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛))))
170169an32s 841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛))))
171 breq1 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷 → ((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1)))))
172 breq1 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷 → ((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))))
173172notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷 → (¬ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))))
174171, 173anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷 → (((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)))))
175 breq2 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷 → ((𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ↔ (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))
176174, 175imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷 → ((((𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛))) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
177170, 176syl5ibcom 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
178177rexlimdva 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
179178adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (𝑥 · (𝑃𝑛)) = 𝐷 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
180136, 179sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑃𝑛) ∥ 𝐷 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
181180com23 83 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → ((𝑃𝑛) ∥ 𝐷 → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
182181a2d 29 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
18365ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑘 ∈ ℂ)
184119zcnd 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑃 ∈ ℂ)
185133zcnd 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃𝑛) ∈ ℂ)
186183, 184, 185mulassd 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) = (𝑘 · (𝑃 · (𝑃𝑛))))
187184, 185mulcomd 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 · (𝑃𝑛)) = ((𝑃𝑛) · 𝑃))
188184, 131expp1d 12735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) = ((𝑃𝑛) · 𝑃))
189187, 188eqtr4d 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 · (𝑃𝑛)) = (𝑃↑(𝑛 + 1)))
190189oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃 · (𝑃𝑛))) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))))
191186, 190eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) = (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))))
192191breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1)))))
193 nnm1nn0 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
194193ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
195 zexpcl 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃↑(𝑛 − 1)) ∈ ℤ)
196119, 194, 195syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 − 1)) ∈ ℤ)
197196zcnd 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
198183, 184, 197mulassd 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑃 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))))
199184, 197mulcomd 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = ((𝑃↑(𝑛 − 1)) · 𝑃))
200 simpll 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℕ)
201 expm1t 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) = ((𝑃↑(𝑛 − 1)) · 𝑃))
202184, 200, 201syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃𝑛) = ((𝑃↑(𝑛 − 1)) · 𝑃))
203199, 202eqtr4d 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃 · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = (𝑃𝑛))
204203oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) = (𝑘 · (𝑃𝑛)))
205198, 204eqtrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))) = (𝑘 · (𝑃𝑛)))
206205breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))))
207206notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))))
208192, 207anbi12d 742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)))))
209208imbi1d 329 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷)))
210 nncn 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
211210ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → 𝑛 ∈ ℂ)
212 ax-1cn 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
213 pncan 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
214211, 212, 213sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
215214oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)) = (𝑃𝑛))
216215oveq2d 6441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))) = (𝑘 · (𝑃𝑛)))
217216breq2d 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))))
218217notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))))
219218anbi2d 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)))))
220219imbi1d 329 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
221182, 209, 2203imtr4d 281 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (((𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ ((𝑘 · 𝑃) · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
222129, 221syld 45 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
223222anassrs 677 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
224223ralrimdva 2856 . . . . . . . . . 10 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∀𝑥 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑥 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
225117, 224syl5bi 230 . . . . . . . . 9 (((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷)))
226225expl 645 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))))
227226a2d 29 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑛)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 − 1)))) → (𝑃𝑛) ∥ 𝐷)) → ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑛 + 1))) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑((𝑛 + 1) − 1)))) → (𝑃↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝐷))))
22814, 27, 40, 53, 109, 227nnind 10791 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷)))
229228com12 32 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷)))
230229impr 646 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷))
231230adantll 745 . . 3 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷))
232 oveq1 6432 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 · (𝑃𝑁)) = (𝐾 · (𝑃𝑁)))
233232breq2d 4493 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ↔ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃𝑁))))
234 oveq1 6432 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))) = (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))
235234breq2d 4493 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐾 → (𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))) ↔ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))))
236235notbid 306 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐾 → (¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1))) ↔ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))))
237233, 236anbi12d 742 . . . . 5 (𝑘 = 𝐾 → ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) ↔ (𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))))
238237imbi1d 329 . . . 4 (𝑘 = 𝐾 → (((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷) ↔ ((𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷)))
239238rspcv 3182 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ℤ ((𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝑘 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷) → ((𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷)))
2401, 231, 239sylc 62 . 2 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1)))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷))
2412403impia 1252 1 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃𝑁)) ∧ ¬ 𝐷 ∥ (𝐾 · (𝑃↑(𝑁 − 1))))) → (𝑃𝑁) ∥ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wne 2684  wral 2800  wrex 2801   class class class wbr 4481  (class class class)co 6425  cc 9687  0cc0 9689  1c1 9690   + caddc 9692   · cmul 9694  cmin 10015  cn 10773  0cn0 11045  cz 11116  cexp 12586  cdvds 14685   gcd cgcd 14922  cprime 15103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-pre-sup 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-1o 7321  df-2o 7322  df-oadd 7325  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-fin 7719  df-sup 8105  df-inf 8106  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-rp 11571  df-fl 12319  df-mod 12395  df-seq 12528  df-exp 12587  df-cj 13541  df-re 13542  df-im 13543  df-sqrt 13677  df-abs 13678  df-dvds 14686  df-gcd 14923  df-prm 15104
This theorem is referenced by:  pockthlem  15335
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