Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmreclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmreclem1 15667
 Description: Lemma for prmrec 15673. Properties of the "square part" function, which extracts the 𝑚 of the decomposition 𝑁 = 𝑟𝑚↑2, with 𝑚 maximal and 𝑟 squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
prmreclem1.1 𝑄 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmreclem1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
Distinct variable groups:   𝐾,𝑟   𝑛,𝑟,𝑁   𝑄,𝑟
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem prmreclem1
Dummy variables 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3720 . . 3 {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
2 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑁 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑛 ↔ (𝑟↑2) ∥ 𝑁))
32rabbidv 3220 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛} = {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
43supeq1d 8393 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
5 prmreclem1.1 . . . . 5 𝑄 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
6 ltso 10156 . . . . . 6 < Or ℝ
76supex 8410 . . . . 5 sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ V
84, 5, 7fvmpt 6321 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄𝑁) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
9 nnssz 11435 . . . . . . 7 ℕ ⊆ ℤ
101, 9sstri 3645 . . . . . 6 {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ
1110a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ)
12 1nn 11069 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ)
14 nnz 11437 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15 1dvds 15043 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∥ 𝑁)
17 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 1 → (𝑟↑2) = (1↑2))
18 sq1 12998 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
1917, 18syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 1 → (𝑟↑2) = 1)
2019breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑟 = 1 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑁 ↔ 1 ∥ 𝑁))
2120elrab 3396 . . . . . . 7 (1 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ↔ (1 ∈ ℕ ∧ 1 ∥ 𝑁))
2213, 16, 21sylanbrc 699 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
23 ne0i 3954 . . . . . 6 (1 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ≠ ∅)
25 nnz 11437 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℤ)
26 zsqcl 12974 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℤ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧↑2) ∈ ℤ)
28 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
29 dvdsle 15079 . . . . . . . . . 10 (((𝑧↑2) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁 → (𝑧↑2) ≤ 𝑁))
3027, 28, 29syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁 → (𝑧↑2) ≤ 𝑁))
31 nnlesq 13008 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ≤ (𝑧↑2))
3231adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ≤ (𝑧↑2))
33 nnre 11065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3534resqcld 13075 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧↑2) ∈ ℝ)
36 nnre 11065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
38 letr 10169 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑧↑2) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑧 ≤ (𝑧↑2) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑁) → 𝑧𝑁))
3934, 35, 37, 38syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 ≤ (𝑧↑2) ∧ (𝑧↑2) ≤ 𝑁) → 𝑧𝑁))
4032, 39mpand 711 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ≤ 𝑁𝑧𝑁))
4130, 40syld 47 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁𝑧𝑁))
4241ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧↑2) ∥ 𝑁𝑧𝑁))
43 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑧 → (𝑟↑2) = (𝑧↑2))
4443breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑧 → ((𝑟↑2) ∥ 𝑁 ↔ (𝑧↑2) ∥ 𝑁))
4544ralrab 3401 . . . . . . 7 (∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ ((𝑧↑2) ∥ 𝑁𝑧𝑁))
4642, 45sylibr 224 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁)
47 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑧𝑥𝑧𝑁))
4847ralbidv 3015 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥 ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁))
4948rspcev 3340 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥)
5014, 46, 49syl2anc 694 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥)
51 suprzcl2 11816 . . . . 5 (({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ ∧ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥) → sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
5211, 24, 50, 51syl3anc 1366 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
538, 52eqeltrd 2730 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄𝑁) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
541, 53sseldi 3634 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄𝑁) ∈ ℕ)
55 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑄𝑁) → (𝑧↑2) = ((𝑄𝑁)↑2))
5655breq1d 4695 . . . . 5 (𝑧 = (𝑄𝑁) → ((𝑧↑2) ∥ 𝑁 ↔ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁))
5744cbvrabv 3230 . . . . 5 {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} = {𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧↑2) ∥ 𝑁}
5856, 57elrab2 3399 . . . 4 ((𝑄𝑁) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ↔ ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁))
5953, 58sylib 208 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁))
6059simprd 478 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁)
6154adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) ∈ ℕ)
6261nncnd 11074 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) ∈ ℂ)
6362mulid1d 10095 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 1) = (𝑄𝑁))
64 eluz2b2 11799 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐾))
6564simprbi 479 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
6665adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 1 < 𝐾)
67 1red 10093 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℝ)
68 eluz2nn 11764 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
6968adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐾 ∈ ℕ)
7069nnred 11073 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐾 ∈ ℝ)
7161nnred 11073 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) ∈ ℝ)
7261nngt0d 11102 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑄𝑁))
73 ltmul2 10912 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ ((𝑄𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄𝑁))) → (1 < 𝐾 ↔ ((𝑄𝑁) · 1) < ((𝑄𝑁) · 𝐾)))
7467, 70, 71, 72, 73syl112anc 1370 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (1 < 𝐾 ↔ ((𝑄𝑁) · 1) < ((𝑄𝑁) · 𝐾)))
7566, 74mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 1) < ((𝑄𝑁) · 𝐾))
7663, 75eqbrtrrd 4709 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑄𝑁) < ((𝑄𝑁) · 𝐾))
77 nnmulcl 11081 . . . . . . . 8 (((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ)
7854, 68, 77syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ)
7978nnred 11073 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℝ)
8071, 79ltnled 10222 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑄𝑁) < ((𝑄𝑁) · 𝐾) ↔ ¬ ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ (𝑄𝑁)))
8176, 80mpbid 222 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ (𝑄𝑁))
8210a1i 11 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ)
8350ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥)
8478adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ)
85 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))
8669adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → 𝐾 ∈ ℕ)
8786nnsqcld 13069 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝐾↑2) ∈ ℕ)
88 nnz 11437 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾↑2) ∈ ℕ → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
8987, 88syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝐾↑2) ∈ ℤ)
9054nnsqcld 13069 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℕ)
919, 90sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ)
9290nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁)↑2) ≠ 0)
93 dvdsval2 15030 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ))
9491, 92, 14, 93syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ))
9560, 94mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
9695ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ)
9791ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ)
98 dvdscmul 15055 . . . . . . . . . 10 (((𝐾↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) ∈ ℤ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℤ) → ((𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) ∥ (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
9989, 96, 97, 98syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) ∥ (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
10085, 99mpd 15 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) ∥ (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))))
10162adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝑄𝑁) ∈ ℂ)
10286nncnd 11074 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → 𝐾 ∈ ℂ)
103101, 102sqmuld 13060 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) = (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)))
104103eqcomd 2657 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝐾↑2)) = (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2))
105 nncn 11066 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
106105ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → 𝑁 ∈ ℂ)
10790ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℕ)
108107nncnd 11074 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ∈ ℂ)
10992ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁)↑2) ≠ 0)
110106, 108, 109divcan2d 10841 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁)↑2) · (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) = 𝑁)
111100, 104, 1103brtr3d 4716 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) ∥ 𝑁)
112 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑟 = ((𝑄𝑁) · 𝐾) → (𝑟↑2) = (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2))
113112breq1d 4695 . . . . . . . 8 (𝑟 = ((𝑄𝑁) · 𝐾) → ((𝑟↑2) ∥ 𝑁 ↔ (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) ∥ 𝑁))
114113elrab 3396 . . . . . . 7 (((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ↔ (((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ ℕ ∧ (((𝑄𝑁) · 𝐾)↑2) ∥ 𝑁))
11584, 111, 114sylanbrc 699 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁})
116 suprzub 11817 . . . . . 6 (({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑧 ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}𝑧𝑥 ∧ ((𝑄𝑁) · 𝐾) ∈ {𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
11782, 83, 115, 116syl3anc 1366 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
1188ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → (𝑄𝑁) = sup({𝑟 ∈ ℕ ∣ (𝑟↑2) ∥ 𝑁}, ℝ, < ))
119117, 118breqtrrd 4713 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))) → ((𝑄𝑁) · 𝐾) ≤ (𝑄𝑁))
12081, 119mtand 692 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))
121120ex 449 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2))))
12254, 60, 1213jca 1261 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑄𝑁) ∈ ℕ ∧ ((𝑄𝑁)↑2) ∥ 𝑁 ∧ (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (𝐾↑2) ∥ (𝑁 / ((𝑄𝑁)↑2)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  supcsup 8387  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ↑cexp 12900   ∥ cdvds 15027 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901  df-dvds 15028 This theorem is referenced by:  prmreclem2  15668  prmreclem3  15669
 Copyright terms: Public domain W3C validator