Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmunb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmunb2 40633
Description: The primes are unbounded. This generalizes prmunb 16242 to real 𝐴 with arch 11886 and lttrd 10793: every real is less than some positive integer, itself less than some prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
prmunb2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Distinct variable group:   𝐴,𝑝

Proof of Theorem prmunb2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 773 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnre 11637 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
32ad3antlr 729 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 ∈ ℝ)
4 prmz 16011 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
54zred 12079 . . . . 5 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
65ad2antlr 725 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑝 ∈ ℝ)
7 simprl 769 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑛)
8 simprr 771 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝑛 < 𝑝)
91, 3, 6, 7, 8lttrd 10793 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝)) → 𝐴 < 𝑝)
10 arch 11886 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛)
11 prmunb 16242 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝)
1211rgen 3146 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝
13 r19.29r 3253 . . . . 5 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 < 𝑛 ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1410, 12, 13sylancl 588 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
15 r19.42v 3348 . . . . 5 (∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1615rexbii 3245 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴 < 𝑛 ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑛 < 𝑝))
1714, 16sylibr 236 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝐴 < 𝑛𝑛 < 𝑝))
189, 17reximddv2 3276 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
19 1nn 11641 . . 3 1 ∈ ℕ
20 ne0i 4298 . . 3 (1 ∈ ℕ → ℕ ≠ ∅)
21 r19.9rzv 4443 . . 3 (ℕ ≠ ∅ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝))
2219, 20, 21mp2b 10 . 2 (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
2318, 22sylibr 236 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wcel 2107  wne 3014  wral 3136  wrex 3137  c0 4289   class class class wbr 5057  cr 10528  1c1 10530   < clt 10667  cn 11630  cprime 16007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16008
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator