MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmz 15176
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 15175 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnzd 11316 1 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  cz 11213  cprime 15172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-prm 15173
This theorem is referenced by:  dvdsprime  15187  oddprmge3  15199  exprmfct  15203  prmdvdsfz  15204  isprm5  15206  isprm7  15207  maxprmfct  15208  coprm  15210  prmrp  15211  euclemma  15212  prmdvdsexpb  15215  prmexpb  15217  prmfac1  15218  rpexp  15219  cncongrprm  15224  phiprmpw  15268  phiprm  15269  fermltl  15276  prmdiv  15277  prmdiveq  15278  vfermltl  15293  vfermltlALT  15294  reumodprminv  15296  modprm0  15297  oddprm  15302  prm23lt5  15306  prm23ge5  15307  pcneg  15365  pcprmpw2  15373  pcprmpw  15374  difsqpwdvds  15378  pcprod  15386  prmpwdvds  15395  prmunb  15405  prmreclem3  15409  prmreclem5  15411  1arithlem1  15414  1arithlem4  15417  1arith  15418  4sqlem11  15446  4sqlem12  15447  4sqlem13  15448  4sqlem14  15449  4sqlem17  15452  prmdvdsprmo  15533  prmdvdsprmop  15534  fvprmselgcd1  15536  prmgaplem4  15545  prmgaplem5  15546  prmgaplem6  15547  prmgaplem8  15549  pgpfi  17792  sylow2alem2  17805  sylow2blem3  17809  gexexlem  18027  ablfacrplem  18236  ablfac1lem  18239  ablfac1b  18241  ablfac1eu  18244  pgpfac1lem2  18246  pgpfac1lem3a  18247  pgpfac1lem3  18248  pgpfac1lem4  18249  ablfaclem3  18258  prmirredlem  19608  wilthlem1  24539  wilthlem2  24540  ppisval  24575  vmappw  24587  muval1  24604  dvdssqf  24609  mumullem1  24650  mumul  24652  sqff1o  24653  dvdsppwf1o  24657  musum  24662  ppiublem1  24672  ppiublem2  24673  chtublem  24681  vmasum  24686  perfect1  24698  bposlem3  24756  bposlem6  24759  lgslem1  24767  lgsval2lem  24777  lgsvalmod  24786  lgsmod  24793  lgsdirprm  24801  lgsdir  24802  lgsdilem2  24803  lgsdi  24804  lgsne0  24805  lgsprme0  24809  lgsqr  24821  gausslemma2dlem1a  24835  gausslemma2dlem4  24839  gausslemma2dlem5a  24840  lgseisenlem1  24845  lgseisenlem2  24846  lgseisenlem3  24847  lgseisenlem4  24848  lgseisen  24849  lgsquadlem2  24851  lgsquadlem3  24852  lgsquad2lem2  24855  m1lgs  24858  2lgslem1a  24861  2lgslem1  24864  2lgslem2  24865  2lgsoddprm  24886  2sqlem3  24890  2sqlem4  24891  2sqlem6  24893  2sqlem8  24896  2sqblem  24901  2sqb  24902  rpvmasumlem  24921  dchrisum0flblem1  24942  dchrisum0flblem2  24943  dirith  24963  clwwlkndivn  26158  2sqmod  28813  nn0prpwlem  31321  nn0prpw  31322  prmunb2  37356  nzprmdif  37364  etransclem48  38999  sfprmdvdsmersenne  39883  sgprmdvdsmersenne  39884  oddprmALTV  39961  oddprmne2  39987  bgoldbst  40025  sgoldbaltlem1  40026  sgoldbaltlem2  40027  nnsum3primesprm  40031  nnsum3primesgbe  40033  nnsum4primesodd  40037  nnsum4primesoddALTV  40038  nnsum4primeseven  40041  nnsum4primesevenALTV  40042  bgoldbtbndlem2  40047  bgoldbtbndlem3  40048  bgoldbtbndlem4  40049  bgoldbtbnd  40050  clwwlksndivn  41286  ztprmneprm  41940
  Copyright terms: Public domain W3C validator