MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmz 15611
Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
prmz (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)

Proof of Theorem prmz
StepHypRef Expression
1 prmnn 15610 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnzd 11693 1 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  cz 11589  cprime 15607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-prm 15608
This theorem is referenced by:  dvdsprime  15622  oddprmge3  15634  exprmfct  15638  prmdvdsfz  15639  isprm5  15641  isprm7  15642  maxprmfct  15643  coprm  15645  prmrp  15646  euclemma  15647  prmdvdsexpb  15650  prmexpb  15652  prmfac1  15653  rpexp  15654  cncongrprm  15659  phiprmpw  15703  phiprm  15704  fermltl  15711  prmdiv  15712  prmdiveq  15713  vfermltl  15728  vfermltlALT  15729  reumodprminv  15731  modprm0  15732  oddprm  15737  prm23lt5  15741  prm23ge5  15742  pcneg  15800  pcprmpw2  15808  pcprmpw  15809  difsqpwdvds  15813  pcprod  15821  prmpwdvds  15830  prmunb  15840  prmreclem3  15844  prmreclem5  15846  1arithlem1  15849  1arithlem4  15852  1arith  15853  4sqlem11  15881  4sqlem12  15882  4sqlem13  15883  4sqlem14  15884  4sqlem17  15887  prmdvdsprmo  15968  prmdvdsprmop  15969  fvprmselgcd1  15971  prmgaplem4  15980  prmgaplem5  15981  prmgaplem6  15982  prmgaplem8  15984  pgpfi  18240  sylow2alem2  18253  sylow2blem3  18257  gexexlem  18475  ablfacrplem  18684  ablfac1lem  18687  ablfac1b  18689  ablfac1eu  18692  pgpfac1lem2  18694  pgpfac1lem3a  18695  pgpfac1lem3  18696  pgpfac1lem4  18697  ablfaclem3  18706  prmirredlem  20063  wilthlem1  25014  wilthlem2  25015  ppisval  25050  vmappw  25062  muval1  25079  dvdssqf  25084  mumullem1  25125  mumul  25127  sqff1o  25128  dvdsppwf1o  25132  musum  25137  ppiublem1  25147  ppiublem2  25148  chtublem  25156  vmasum  25161  perfect1  25173  bposlem3  25231  bposlem6  25234  lgslem1  25242  lgsval2lem  25252  lgsvalmod  25261  lgsmod  25268  lgsdirprm  25276  lgsdir  25277  lgsdilem2  25278  lgsdi  25279  lgsne0  25280  lgsprme0  25284  lgsqr  25296  gausslemma2dlem1a  25310  gausslemma2dlem4  25314  gausslemma2dlem5a  25315  lgseisenlem1  25320  lgseisenlem2  25321  lgseisenlem3  25322  lgseisenlem4  25323  lgseisen  25324  lgsquadlem2  25326  lgsquadlem3  25327  lgsquad2lem2  25330  m1lgs  25333  2lgslem1a  25336  2lgslem1  25339  2lgslem2  25340  2lgsoddprm  25361  2sqlem3  25365  2sqlem4  25366  2sqlem6  25368  2sqlem8  25371  2sqblem  25376  2sqb  25377  rpvmasumlem  25396  dchrisum0flblem1  25417  dchrisum0flblem2  25418  dirith  25438  clwwlkndivn  27232  2sqmod  29978  oddprm2  31063  nn0prpwlem  32644  nn0prpw  32645  prmunb2  39030  nzprmdif  39038  etransclem48  41020  sfprmdvdsmersenne  42048  sgprmdvdsmersenne  42049  oddprmALTV  42126  oddprmne2  42152  even3prm2  42156  mogoldbblem  42157  sbgoldbst  42194  sbgoldbaltlem1  42195  sbgoldbaltlem2  42196  nnsum3primesprm  42206  nnsum3primesgbe  42208  nnsum4primesodd  42212  nnsum4primesoddALTV  42213  nnsum4primeseven  42216  nnsum4primesevenALTV  42217  bgoldbtbndlem2  42222  bgoldbtbndlem3  42223  bgoldbtbndlem4  42224  bgoldbtbnd  42225  ztprmneprm  42653
  Copyright terms: Public domain W3C validator