Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  probfinmeasbOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem probfinmeasbOLD 30271
 Description: Build a probability measure from a finite measure. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
probfinmeasbOLD ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ Prob)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑀   𝑥,𝑆

Proof of Theorem probfinmeasbOLD
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 measdivcstOLD 30068 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ (measures‘𝑆))
2 ovex 6632 . . . . . . 7 ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ V
32rgenw 2919 . . . . . 6 𝑥𝑆 ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ V
4 dmmptg 5591 . . . . . 6 (∀𝑥𝑆 ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ V → dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 𝑆)
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 𝑆
65fveq2i 6151 . . . 4 (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))) = (measures‘𝑆)
71, 6syl6eleqr 2709 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))))
8 measbasedom 30046 . . 3 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ ran measures ↔ (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ (measures‘dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))))
97, 8sylibr 224 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ ran measures)
105unieqi 4411 . . . 4 dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) = 𝑆
1110fveq2i 6151 . . 3 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))) = ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ 𝑆)
12 measbase 30041 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆 ran sigAlgebra)
13 isrnsigau 29971 . . . . . . . . 9 (𝑆 ran sigAlgebra → (𝑆 ⊆ 𝒫 𝑆 ∧ ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆))))
1413simprd 479 . . . . . . . 8 (𝑆 ran sigAlgebra → ( 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑦𝑆 ( 𝑆𝑦) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 𝑆(𝑦 ≼ ω → 𝑦𝑆)))
1514simp1d 1071 . . . . . . 7 (𝑆 ran sigAlgebra → 𝑆𝑆)
1612, 15syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (measures‘𝑆) → 𝑆𝑆)
17 id 22 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+)
1817, 17rpxdivcld 29427 . . . . . 6 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ℝ+)
1916, 18anim12i 589 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ( 𝑆𝑆 ∧ ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ℝ+))
20 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → (𝑀𝑥) = (𝑀 𝑆))
2120oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
22 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) = (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
2321, 22fvmptg 6237 . . . . 5 (( 𝑆𝑆 ∧ ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ 𝑆) = ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)))
25 rpre 11783 . . . . . 6 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ∈ ℝ)
26 rpne0 11792 . . . . . 6 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → (𝑀 𝑆) ≠ 0)
27 xdivid 29421 . . . . . 6 (((𝑀 𝑆) ∈ ℝ ∧ (𝑀 𝑆) ≠ 0) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2825, 26, 27syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑀 𝑆) ∈ ℝ+ → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
2928adantl 482 . . . 4 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑀 𝑆) /𝑒 (𝑀 𝑆)) = 1)
3024, 29eqtrd 2655 . . 3 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ 𝑆) = 1)
3111, 30syl5eq 2667 . 2 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))) = 1)
32 elprob 30252 . 2 ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ Prob ↔ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ ran measures ∧ ((𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))‘ dom (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆)))) = 1))
339, 31, 32sylanbrc 697 1 ((𝑀 ∈ (measures‘𝑆) ∧ (𝑀 𝑆) ∈ ℝ+) → (𝑥𝑆 ↦ ((𝑀𝑥) /𝑒 (𝑀 𝑆))) ∈ Prob)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  𝒫 cpw 4130  ∪ cuni 4402   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ωcom 7012   ≼ cdom 7897  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  ℝ+crp 11776   /𝑒 cxdiv 29410  sigAlgebracsiga 29951  measurescmeas 30039  Probcprb 30250 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-ordt 16082  df-xrs 16083  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-ps 17121  df-tsr 17122  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-tsms 21840  df-xdiv 29411  df-esum 29871  df-siga 29952  df-meas 30040  df-prob 30251 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator