Theorem problem4 32915

Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i 473 eqcomi 2833 eqtri 2847 subaddrii 10978 recni 10658 7re 11733 6re 11730 ax-1cn 10598 df-7 11708 ax-mp 5 oveq1i 7169 3cn 11721 2cn 11715 df-3 11704 mulid2i 10649 subdiri 11093 mp3an 1457 mulcli 10651 subadd23 10901 oveq2i 7170 oveq12i 7171 3t2e6 11806 mulcomi 10652 subcli 10965 biimpri 230 subadd2i 10977. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
problem4.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
problem4.4	⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7

Assertion

Ref	Expression
problem4	⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Proof of Theorem problem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		7re 11733	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℝ
2	1	recni 10658	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
3		6re 11730	. . . . . . 7 ⊢ 6 ∈ ℝ
4	3	recni 10658	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℂ
5		ax-1cn 10598	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		df-7 11708	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (6 + 1)
7	6	eqcomi 2833	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
8	2, 4, 5, 7	subaddrii 10978	. . . . 5 ⊢ (7 − 6) = 1
9	8	eqcomi 2833	. . . 4 ⊢ 1 = (7 − 6)
10		3cn 11721	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
11		2cn 11715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		df-3 11704	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 = (2 + 1)
13	12	eqcomi 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 1) = 3
14	10, 11, 5, 13	subaddrii 10978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 − 2) = 1
15	14	oveq1i 7169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
16		problem4.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
17	16	mulid2i 10649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · 𝐴) = 𝐴
18	15, 17	eqtri 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = 𝐴
19	18	eqcomi 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 = ((3 − 2) · 𝐴)
20	10, 11, 16	subdiri 11093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 − 2) · 𝐴) = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
21	19, 20	eqtri 2847	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = ((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴))
22	21	oveq1i 7169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 + 6) = (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6)
23	10, 16	mulcli 10651	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 · 𝐴) ∈ ℂ
24	11, 16	mulcli 10651	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · 𝐴) ∈ ℂ
25		subadd23 10901	. . . . . . . . 9 ⊢ (((3 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ) → (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))))
26	23, 24, 4, 25	mp3an 1457	. . . . . . . 8 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
27		3t2e6 11806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 2) = 6
28	16, 11	mulcomi 10652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
29	27, 28	oveq12i 7171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (6 − (2 · 𝐴))
30	29	eqcomi 2833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
31	10, 16, 11	subdiri 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = ((3 · 2) − (𝐴 · 2))
32	31	eqcomi 2833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = ((3 − 𝐴) · 2)
33	10, 16	subcli 10965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (3 − 𝐴) ∈ ℂ
34	11, 33	mulcomi 10652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = ((3 − 𝐴) · 2)
35	34	eqcomi 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · (3 − 𝐴))
36		problem4.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
37		problem4.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 3
38	10, 16, 36, 37	subaddrii 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 − 𝐴) = 𝐵
39	38	eqcomi 2833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝐵 = (3 − 𝐴)
40	39	oveq2i 7170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 𝐵) = (2 · (3 − 𝐴))
41	40	eqcomi 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · (3 − 𝐴)) = (2 · 𝐵)
42	35, 41	eqtri 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 − 𝐴) · 2) = (2 · 𝐵)
43	32, 42	eqtri 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) − (𝐴 · 2)) = (2 · 𝐵)
44	30, 43	eqtri 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 − (2 · 𝐴)) = (2 · 𝐵)
45	44	eqcomi 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 𝐵) = (6 − (2 · 𝐴))
46	45	oveq2i 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴)))
47	46	eqcomi 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 𝐴) + (6 − (2 · 𝐴))) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
48	26, 47	eqtri 2847	. . . . . . 7 ⊢ (((3 · 𝐴) − (2 · 𝐴)) + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
49	22, 48	eqtri 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 6) = ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵))
50		problem4.4	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 𝐴) + (2 · 𝐵)) = 7
51	49, 50	eqtri 2847	. . . . 5 ⊢ (𝐴 + 6) = 7
52	2, 4, 16	subadd2i 10977	. . . . . 6 ⊢ ((7 − 6) = 𝐴 ↔ (𝐴 + 6) = 7)
53	52	biimpri 230	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + 6) = 7 → (7 − 6) = 𝐴)
54	51, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (7 − 6) = 𝐴
55	9, 54	eqtri 2847	. . 3 ⊢ 1 = 𝐴
56	55	eqcomi 2833	. 2 ⊢ 𝐴 = 1
57	56	oveq2i 7170	. . . 4 ⊢ (3 − 𝐴) = (3 − 1)
58	10, 5, 11	subadd2i 10977	. . . . . 6 ⊢ ((3 − 1) = 2 ↔ (2 + 1) = 3)
59	58	biimpri 230	. . . . 5 ⊢ ((2 + 1) = 3 → (3 − 1) = 2)
60	13, 59	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (3 − 1) = 2
61	57, 60	eqtri 2847	. . 3 ⊢ (3 − 𝐴) = 2
62	39, 61	eqtri 2847	. 2 ⊢ 𝐵 = 2
63	56, 62	pm3.2i 473	1 ⊢ (𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7159  ℂcc 10538  1c1 10541   + caddc 10543   · cmul 10545   − cmin 10873  2c2 11695  3c3 11696  6c6 11699  7c7 11700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708

This theorem is referenced by: (None)