Users' Mathboxes Mathbox for Filip Cernatescu < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  problem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem problem5 32809
Description: Practice problem 5. Clues: 3brtr3i 5086 mpbi 231 breqtri 5082 ltaddsubi 11189 remulcli 10645 2re 11699 3re 11705 9re 11724 eqcomi 2827 mvlladdi 10892 3cn 6cn 11716 eqtr3i 2843 6p3e9 11785 addcomi 10819 ltdiv1ii 11557 6re 11715 nngt0i 11664 2nn 11698 divcan3i 11374 recni 10643 2cn 11700 2ne0 11729 mpbir 232 eqtri 2841 mulcomi 10637 3t2e6 11791 divmuli 11382. (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
problem5.1 𝐴 ∈ ℝ
problem5.2 ((2 · 𝐴) + 3) < 9
Assertion
Ref Expression
problem5 𝐴 < 3

Proof of Theorem problem5
StepHypRef Expression
1 problem5.2 . . . . 5 ((2 · 𝐴) + 3) < 9
2 2re 11699 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
3 problem5.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
42, 3remulcli 10645 . . . . . 6 (2 · 𝐴) ∈ ℝ
5 3re 11705 . . . . . 6 3 ∈ ℝ
6 9re 11724 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
74, 5, 6ltaddsubi 11189 . . . . 5 (((2 · 𝐴) + 3) < 9 ↔ (2 · 𝐴) < (9 − 3))
81, 7mpbi 231 . . . 4 (2 · 𝐴) < (9 − 3)
9 3cn 11706 . . . . . 6 3 ∈ ℂ
10 6cn 11716 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
11 6p3e9 11785 . . . . . . . 8 (6 + 3) = 9
1210, 9addcomi 10819 . . . . . . . 8 (6 + 3) = (3 + 6)
1311, 12eqtr3i 2843 . . . . . . 7 9 = (3 + 6)
1413eqcomi 2827 . . . . . 6 (3 + 6) = 9
159, 10, 14mvlladdi 10892 . . . . 5 6 = (9 − 3)
1615eqcomi 2827 . . . 4 (9 − 3) = 6
178, 16breqtri 5082 . . 3 (2 · 𝐴) < 6
18 6re 11715 . . . 4 6 ∈ ℝ
19 2nn 11698 . . . . 5 2 ∈ ℕ
2019nngt0i 11664 . . . 4 0 < 2
214, 18, 2, 20ltdiv1ii 11557 . . 3 ((2 · 𝐴) < 6 ↔ ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2))
2217, 21mpbi 231 . 2 ((2 · 𝐴) / 2) < (6 / 2)
233recni 10643 . . 3 𝐴 ∈ ℂ
24 2cn 11700 . . 3 2 ∈ ℂ
25 2ne0 11729 . . 3 2 ≠ 0
2623, 24, 25divcan3i 11374 . 2 ((2 · 𝐴) / 2) = 𝐴
2724, 9mulcomi 10637 . . . 4 (2 · 3) = (3 · 2)
28 3t2e6 11791 . . . 4 (3 · 2) = 6
2927, 28eqtri 2841 . . 3 (2 · 3) = 6
3010, 24, 9, 25divmuli 11382 . . 3 ((6 / 2) = 3 ↔ (2 · 3) = 6)
3129, 30mpbir 232 . 2 (6 / 2) = 3
3222, 26, 313brtr3i 5086 1 𝐴 < 3
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  3c3 11681  6c6 11684  9c9 11687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator