MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prod1 14599
Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prod1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 477 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 ax-1ne0 9949 . . . . 5 1 ≠ 0
43a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
51prodfclim1 14550 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
65adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
8 1ex 9979 . . . . . . 7 1 ∈ V
98fvconst2 6423 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10 ifid 4097 . . . . . 6 if(𝑘𝐴, 1, 1) = 1
119, 10syl6eqr 2673 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
1211adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 1, 1))
13 1cnd 10000 . . . 4 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
141, 2, 4, 6, 7, 12, 13zprodn0 14594 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
15 uzf 11634 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
1615fdmi 6009 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
1716eleq2i 2690 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
18 ndmfv 6175 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
1917, 18sylnbir 321 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2019sseq2d 3612 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2120biimpac 503 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22 ss0 3946 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23 prodeq1 14564 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24 prod0 14598 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
2523, 24syl6eq 2671 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2621, 22, 253syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
2714, 26pm2.61dan 831 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
28 fz1f1o 14374 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
29 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑗) → 1 = 1)
30 simpl 473 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
31 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
32 1cnd 10000 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33 elfznn 12312 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
348fvconst2 6423 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1...(#‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
3729, 30, 31, 32, 36fprod 14596 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(#‘𝐴)))
38 nnuz 11667 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
3938prodf1 14548 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(#‘𝐴)) = 1)
4039adantr 481 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(#‘𝐴)) = 1)
4137, 40eqtrd 2655 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4241ex 450 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4342exlimdv 1858 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∏𝑘𝐴 1 = 1))
4443imp 445 . . . 4 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4525, 44jaoi 394 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4628, 45syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
4727, 46jaoi 394 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘𝐴 1 = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wss 3555  c0 3891  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130  {csn 4148   class class class wbr 4613   × cxp 5072  dom cdm 5074  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885  cn 10964  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  seqcseq 12741  #chash 13057  cli 14149  cprod 14560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-prod 14561
This theorem is referenced by:  etransclem35  39790
  Copyright terms: Public domain W3C validator