Theorem prod1 15300

Description: Any product of one over a valid set is one. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prod1	⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem prod1

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		ax-1ne0 10608	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ≠ 0)
5	1	prodfclim1 15251	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
6	5	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( · , ((ℤ≥‘𝑀) × {1})) ⇝ 1)
7		simpl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
8		1ex 10639	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
9	8	fvconst2 6968	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = 1)
10		ifid 4508	. . . . . 6 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1) = 1
11	9, 10	syl6eqr 2876	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
12	11	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {1})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 1, 1))
13		1cnd 10638	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
14	1, 2, 4, 6, 7, 12, 13	zprodn0 15295	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
15		uzf 12249	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
16	15	fdmi 6526	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
17	16	eleq2i 2906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
18		ndmfv 6702	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
19	17, 18	sylnbir 333	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
20	19	sseq2d 4001	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
21	20	biimpac 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
22		ss0 4354	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
23		prodeq1 15265	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = ∏𝑘 ∈ ∅ 1)
24		prod0 15299	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ ∅ 1 = 1
25	23, 24	syl6eq 2874	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
26	21, 22, 25	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
27	14, 26	pm2.61dan 811	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
28		fz1f1o 15069	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
29		eqidd 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑗) → 1 = 1)
30		simpl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
31		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
32		1cnd 10638	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
33		elfznn 12939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → 𝑗 ∈ ℕ)
34	8	fvconst2 6968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴)) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
36	35	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑗 ∈ (1...(♯‘𝐴))) → ((ℕ × {1})‘𝑗) = 1)
37	29, 30, 31, 32, 36	fprod 15297	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)))
38		nnuz 12284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
39	38	prodf1 15249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
40	39	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (seq1( · , (ℕ × {1}))‘(♯‘𝐴)) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
42	41	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
43	42	exlimdv 1934	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1))
44	43	imp 409	. . . 4 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
45	25, 44	jaoi 853	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
46	28, 45	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)
47	27, 46	jaoi 853	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → ∏𝑘 ∈ 𝐴 1 = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ifcif 4469  𝒫 cpw 4541  {csn 4569   class class class wbr 5068   × cxp 5555  dom cdm 5557  –1-1-onto→wf1o 6356  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544  ℕcn 11640  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  seqcseq 13372  ♯chash 13693   ⇝ cli 14843  ∏cprod 15261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-prod 15262

This theorem is referenced by:  fprodex01  30543  etransclem35  42561