MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodf 14327
Description: An infinite product of complex terms is a function from an upper set of integers to . (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
prodf.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodf.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
prodf (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Proof of Theorem prodf
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodf.1 . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 prodf.2 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 prodf.3 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4 mulcl 9775 . . 3 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
54adantl 480 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
61, 2, 3, 5seqf 12552 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6426  cc 9689   · cmul 9696  cz 11118  cuz 11427  seqcseq 12531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-seq 12532
This theorem is referenced by:  clim2prod  14328  clim2div  14329  ntrivcvgtail  14340  ntrivcvgmullem  14341  fprodcvg  14368  iprodmul  14442  iprodefisumlem  30721
  Copyright terms: Public domain W3C validator