MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfdiv 14564
Description: The quotient of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfdiv.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
prodfdiv.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
prodfdiv.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
prodfdiv.5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
prodfdiv (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfdiv
Dummy variables 𝑥 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfdiv.1 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 prodfdiv.3 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3 prodfdiv.4 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0)
4 fveq2 6153 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
54oveq2d 6626 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (𝐺𝑛)) = (1 / (𝐺𝑘)))
6 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))) = (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))
7 ovex 6638 . . . . . 6 (1 / (𝐺𝑘)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6244 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
98adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) = (1 / (𝐺𝑘)))
101, 2, 3, 9prodfrec 14563 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁) = (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
1110oveq2d 6626 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
12 prodfdiv.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
13 eleq1 2686 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)))
1413anbi2d 739 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))))
15 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑛))
1615eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐺𝑛) ∈ ℂ))
1714, 16imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)))
1817, 2chvarv 2262 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
1915neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐺𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐺𝑛) ≠ 0))
2014, 19imbi12d 334 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ≠ 0) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ≠ 0)))
2120, 3chvarv 2262 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑛) ≠ 0)
2218, 21reccld 10746 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (1 / (𝐺𝑛)) ∈ ℂ)
2322, 6fmptd 6346 . . . 4 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))):(𝑀...𝑁)⟶ℂ)
2423ffvelrnda 6320 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2512, 2, 3divrecd 10756 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
26 prodfdiv.5 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) / (𝐺𝑘)))
279oveq2d 6626 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)) = ((𝐹𝑘) · (1 / (𝐺𝑘))))
2825, 26, 273eqtr4d 2665 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛)))‘𝑘)))
291, 12, 24, 28prodfmul 14558 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ (1 / (𝐺𝑛))))‘𝑁)))
30 mulcl 9972 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
3130adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
321, 12, 31seqcl 12769 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
331, 2, 31seqcl 12769 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ∈ ℂ)
341, 2, 3prodfn0 14562 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
3532, 33, 34divrecd 10756 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (1 / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁))))
3611, 29, 353eqtr4d 2665 1 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) / (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893   / cdiv 10636  cuz 11639  ...cfz 12276  seqcseq 12749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750
This theorem is referenced by:  fproddiv  14627
  Copyright terms: Public domain W3C validator