MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfmul 14550
Description: The product of two infinite products. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfmul.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
prodfmul.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
prodfmul.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
prodfmul.4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
prodfmul (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 9967 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
21adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3 mulcom 9969 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
43adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
5 mulass 9971 . . 3 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
65adantl 482 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
7 prodfmul.1 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
8 prodfmul.2 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
9 prodfmul.3 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
10 prodfmul.4 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
112, 4, 6, 7, 8, 9, 10seqcaopr 12781 1 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) · (seq𝑀( · , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881   · cmul 9888  cuz 11634  ...cfz 12271  seqcseq 12744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745
This theorem is referenced by:  prodfdiv  14556  ntrivcvgmullem  14561  fprodmul  14618  iprodmul  14662  faclim  31361
  Copyright terms: Public domain W3C validator