MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodfn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfn0 15238
Description: No term of a nonzero infinite product is zero. (Contributed by Scott Fenton, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfn0.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
prodfn0.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
prodfn0.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
prodfn0 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prodfn0
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prodfn0.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 eluzfz2 12903 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
4 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑚 = 𝑀 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀))
54neeq1d 3072 . . . 4 (𝑚 = 𝑀 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
65imbi2d 342 . . 3 (𝑚 = 𝑀 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)))
7 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛))
87neeq1d 3072 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0))
98imbi2d 342 . . 3 (𝑚 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)))
10 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)))
1110neeq1d 3072 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
1211imbi2d 342 . . 3 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
13 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) = (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁))
1413neeq1d 3072 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0 ↔ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
1514imbi2d 342 . . 3 (𝑚 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑚) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)))
16 eluzfz1 12902 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
17 elfzelz 12896 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
19 seq1 13370 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹𝑀))
21 fveq2 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
2221neeq1d 3072 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑀) ≠ 0))
2322imbi2d 342 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (𝐹𝑀) ≠ 0)))
24 prodfn0.3 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
2524expcom 414 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑘) ≠ 0))
2623, 25vtoclga 3571 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑀) ≠ 0))
2726impcom 408 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑀) ≠ 0)
2820, 27eqnetrd 3080 . . . . 5 ((𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0)
2928expcom 414 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
3016, 29syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑀) ≠ 0))
31 elfzouz 13030 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
32313ad2ant2 1126 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
33 seqp1 13372 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) = ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))))
35 elfzofz 13041 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
36 elfzuz 12892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
38 elfzuz3 12893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑛))
39 fzss2 12935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ𝑛) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑀...𝑛) ⊆ (𝑀...𝑁))
4140sselda 3964 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
42 prodfn0.2 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4341, 42sylan2 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4443anassrs 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
45 mulcl 10609 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℂ)
4737, 44, 46seqcl 13378 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
4835, 47sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
49483adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ∈ ℂ)
50 fzofzp1 13122 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
51 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
5251eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
5352imbi2d 342 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)))
5442expcom 414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹𝑘) ∈ ℂ))
5553, 54vtoclga 3571 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
5650, 55syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ))
5756impcom 408 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
58573adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℂ)
59 simp3 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0)
6051neeq1d 3072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
6160imbi2d 342 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝐹𝑘) ≠ 0) ↔ (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
6261, 25vtoclga 3571 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0))
6362impcom 408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
6450, 63sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
65643adant3 1124 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
6649, 58, 59, 65mulne0d 11280 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) · (𝐹‘(𝑛 + 1))) ≠ 0)
6734, 66eqnetrd 3080 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) ∧ (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)
68673exp 1111 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
6968com12 32 . . . 4 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝜑 → ((seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
7069a2d 29 . . 3 (𝑛 ∈ (𝑀..^𝑁) → ((𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑛) ≠ 0) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 + 1)) ≠ 0)))
716, 9, 12, 15, 30, 70fzind2 13143 . 2 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0))
723, 71mpcom 38 1 (𝜑 → (seq𝑀( · , 𝐹)‘𝑁) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  seqcseq 13357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358
This theorem is referenced by:  prodfrec  15239  prodfdiv  15240  fprodn0  15321
  Copyright terms: Public domain W3C validator