Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prodfzo03 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodfzo03 30809
Description: A product of three factors, indexed starting with zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
prodfzo03.1 (𝑘 = 0 → 𝐷 = 𝐴)
prodfzo03.2 (𝑘 = 1 → 𝐷 = 𝐵)
prodfzo03.3 (𝑘 = 2 → 𝐷 = 𝐶)
prodfzo03.a ((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) → 𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
prodfzo03 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem prodfzo03
StepHypRef Expression
1 fzodisjsn 12545 . . . . 5 ((0..^2) ∩ {2}) = ∅
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((0..^2) ∩ {2}) = ∅)
3 2p1e3 11189 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
43oveq2i 6701 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = (0..^3)
5 2eluzge0 11771 . . . . . . 7 2 ∈ (ℤ‘0)
6 fzosplitsn 12616 . . . . . . 7 (2 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) ∪ {2}))
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 (0..^(2 + 1)) = ((0..^2) ∪ {2})
84, 7eqtr3i 2675 . . . . 5 (0..^3) = ((0..^2) ∪ {2})
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^3) = ((0..^2) ∪ {2}))
10 fzofi 12813 . . . . 5 (0..^3) ∈ Fin
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (0..^3) ∈ Fin)
12 prodfzo03.a . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) → 𝐷 ∈ ℂ)
132, 9, 11, 12fprodsplit 14740 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = (∏𝑘 ∈ (0..^2)𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷))
14 0ne1 11126 . . . . . 6 0 ≠ 1
15 disjsn2 4279 . . . . . 6 (0 ≠ 1 → ({0} ∩ {1}) = ∅)
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ({0} ∩ {1}) = ∅)
17 fzo0to2pr 12593 . . . . . . 7 (0..^2) = {0, 1}
18 df-pr 4213 . . . . . . 7 {0, 1} = ({0} ∪ {1})
1917, 18eqtri 2673 . . . . . 6 (0..^2) = ({0} ∪ {1})
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^2) = ({0} ∪ {1}))
21 fzofi 12813 . . . . . 6 (0..^2) ∈ Fin
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (0..^2) ∈ Fin)
23 2z 11447 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
24 3z 11448 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
25 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
26 3re 11132 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
27 2lt3 11233 . . . . . . . . . 10 2 < 3
2825, 26, 27ltleii 10198 . . . . . . . . 9 2 ≤ 3
29 eluz2 11731 . . . . . . . . 9 (3 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 3))
3023, 24, 28, 29mpbir3an 1263 . . . . . . . 8 3 ∈ (ℤ‘2)
31 fzoss2 12535 . . . . . . . 8 (3 ∈ (ℤ‘2) → (0..^2) ⊆ (0..^3))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (0..^2) ⊆ (0..^3)
3332sseli 3632 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0..^2) → 𝑘 ∈ (0..^3))
3433, 12sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^2)) → 𝐷 ∈ ℂ)
3516, 20, 22, 34fprodsplit 14740 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^2)𝐷 = (∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷))
3635oveq1d 6705 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (0..^2)𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷) = ((∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷) · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷))
3713, 36eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = ((∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷) · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷))
38 snfi 8079 . . . . 5 {0} ∈ Fin
3938a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {0} ∈ Fin)
40 velsn 4226 . . . . 5 (𝑘 ∈ {0} ↔ 𝑘 = 0)
41 prodfzo03.1 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → 𝐷 = 𝐴)
4241adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐷 = 𝐴)
43 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐴) → 𝐷 = 𝐴)
4412adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
4543, 44eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
46 c0ex 10072 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
4746tpid1 4335 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ {0, 1, 2}
48 fzo0to3tp 12594 . . . . . . . . . . 11 (0..^3) = {0, 1, 2}
4947, 48eleqtrri 2729 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0..^3)
50 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 𝐴 = 𝐴
5141eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝐷 = 𝐴𝐴 = 𝐴))
5251rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ (0..^3) ∧ 𝐴 = 𝐴) → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐴)
5349, 50, 52mp2an 708 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐴
5453a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐴)
5545, 54r19.29a 3107 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5742, 56eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 0) → 𝐷 ∈ ℂ)
5840, 57sylan2b 491 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {0}) → 𝐷 ∈ ℂ)
5939, 58fprodcl 14726 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {0}𝐷 ∈ ℂ)
60 snfi 8079 . . . . 5 {1} ∈ Fin
6160a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {1} ∈ Fin)
62 velsn 4226 . . . . 5 (𝑘 ∈ {1} ↔ 𝑘 = 1)
63 prodfzo03.2 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → 𝐷 = 𝐵)
6463adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐷 = 𝐵)
65 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 = 𝐵)
6612adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
6765, 66eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
68 1ex 10073 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
6968tpid2 4336 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ {0, 1, 2}
7069, 48eleqtrri 2729 . . . . . . . . . 10 1 ∈ (0..^3)
71 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 𝐵 = 𝐵
7263eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (𝐷 = 𝐵𝐵 = 𝐵))
7372rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ (0..^3) ∧ 𝐵 = 𝐵) → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐵)
7470, 71, 73mp2an 708 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐵
7574a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐵)
7667, 75r19.29a 3107 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
7776adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
7864, 77eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 1) → 𝐷 ∈ ℂ)
7962, 78sylan2b 491 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {1}) → 𝐷 ∈ ℂ)
8061, 79fprodcl 14726 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {1}𝐷 ∈ ℂ)
81 snfi 8079 . . . . 5 {2} ∈ Fin
8281a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {2} ∈ Fin)
83 velsn 4226 . . . . 5 (𝑘 ∈ {2} ↔ 𝑘 = 2)
84 prodfzo03.3 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → 𝐷 = 𝐶)
8584adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 2) → 𝐷 = 𝐶)
86 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐶) → 𝐷 = 𝐶)
8712adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐶) → 𝐷 ∈ ℂ)
8886, 87eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0..^3)) ∧ 𝐷 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
89 2ex 11130 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
9089tpid3 4338 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ {0, 1, 2}
9190, 48eleqtrri 2729 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (0..^3)
92 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 𝐶 = 𝐶
9384eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 2 → (𝐷 = 𝐶𝐶 = 𝐶))
9493rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ (0..^3) ∧ 𝐶 = 𝐶) → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐶)
9591, 92, 94mp2an 708 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐶
9695a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = 𝐶)
9788, 96r19.29a 3107 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9897adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 2) → 𝐶 ∈ ℂ)
9985, 98eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 2) → 𝐷 ∈ ℂ)
10083, 99sylan2b 491 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {2}) → 𝐷 ∈ ℂ)
10182, 100fprodcl 14726 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {2}𝐷 ∈ ℂ)
10259, 80, 101mulassd 10101 . 2 (𝜑 → ((∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {1}𝐷) · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷) = (∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · (∏𝑘 ∈ {1}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷)))
103 0nn0 11345 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
104103a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
10541prodsn 14736 . . . 4 ((0 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {0}𝐷 = 𝐴)
106104, 55, 105syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {0}𝐷 = 𝐴)
107 1nn0 11346 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
108107a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
10963prodsn 14736 . . . . 5 ((1 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {1}𝐷 = 𝐵)
110108, 76, 109syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {1}𝐷 = 𝐵)
111 2nn0 11347 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
112111a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
11384prodsn 14736 . . . . 5 ((2 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {2}𝐷 = 𝐶)
114112, 97, 113syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {2}𝐷 = 𝐶)
115110, 114oveq12d 6708 . . 3 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {1}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷) = (𝐵 · 𝐶))
116106, 115oveq12d 6708 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ {0}𝐷 · (∏𝑘 ∈ {1}𝐷 · ∏𝑘 ∈ {2}𝐷)) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
11737, 102, 1163eqtrd 2689 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (0..^3)𝐷 = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  {ctp 4214   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  2c2 11108  3c3 11109  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504  cprod 14679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-prod 14680
This theorem is referenced by:  circlevma  30848  circlemethhgt  30849
  Copyright terms: Public domain W3C validator