Theorem prodge0 11062

Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
prodge0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem prodge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 807	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2		simplr 809	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 10649	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → -𝐵 ∈ ℝ)
4		simprl 811	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < 𝐴)
5		simprr 813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < -𝐵)
6	1, 3, 4, 5	mulgt0d 10384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < (𝐴 · -𝐵))
7	1	recnd 10260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
8	2	recnd 10260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	7, 8	mulneg2d 10676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
10	6, 9	breqtrd 4830	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < -𝐵)) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
11	10	expr 644	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < -𝐵 → 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
12		simplr 809	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
13	12	lt0neg1d 10789	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
14		simpll 807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
15	14, 12	remulcld 10262	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	15	lt0neg1d 10789	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
17	11, 13, 16	3imtr4d 283	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 0 → (𝐴 · 𝐵) < 0))
18	17	con3d 148	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (¬ (𝐴 · 𝐵) < 0 → ¬ 𝐵 < 0))
19		0red 10233	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
20	19, 15	lenltd 10375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0))
21	19, 12	lenltd 10375	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
22	18, 20, 21	3imtr4d 283	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝐴) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐵) → 0 ≤ 𝐵))
23	22	impr 650	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))) → 0 ≤ 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267  -cneg 10459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461

This theorem is referenced by:  prodge02  11063  prodge0i  11123  oexpneg  15271  evennn02n  15276  nvge0  27837  oexpnegALTV  42098