MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodmolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodmolem2 14597
Description: Lemma for prodmo 14598. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodmo.3 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodmolem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛   𝐴,𝑓,𝑗,𝑚   𝐵,𝑗   𝑓,𝐹,𝑗,𝑘,𝑚   𝜑,𝑓   𝑥,𝑓   𝑧,𝑓   𝑗,𝐺   𝑗,𝑘,𝑚,𝜑   𝑥,𝑗   𝑘,𝑚,𝑥   𝜑,𝑚   𝑥,𝑚   𝑧,𝑚
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem prodmolem2
Dummy variables 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 1057 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
21reximi 3006 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) → ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
3 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑤 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑤))
43sseq2d 3617 . . . . 5 (𝑚 = 𝑤 → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤)))
5 seqeq1 12751 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑤 → seq𝑚( · , 𝐹) = seq𝑤( · , 𝐹))
65breq1d 4628 . . . . 5 (𝑚 = 𝑤 → (seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
74, 6anbi12d 746 . . . 4 (𝑚 = 𝑤 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
87cbvrexv 3163 . . 3 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥))
9 reeanv 3100 . . . . 5 (∃𝑤 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℕ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) ↔ (∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))))
10 simprlr 802 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)
11 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
12 uzssz 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑤) ⊆ ℤ
13 zssre 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ ⊆ ℝ
1412, 13sstri 3596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑤) ⊆ ℝ
1511, 14syl6ss 3599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
16 ltso 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15 < Or ℝ
17 soss 5018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
1815, 16, 17mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → < Or 𝐴)
19 fzfi 12718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑚) ∈ Fin
20 ovex 6638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...𝑚) ∈ V
2120f1oen 7927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
2221ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
2322ensymd 7958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
24 enfii 8128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
2519, 23, 24sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
26 fz1iso 13191 . . . . . . . . . . . . . 14 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
2718, 25, 26syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
28 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
29 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝜑)
30 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3129, 30sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
32 prodmo.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑗) / 𝑘𝐵)
33 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑗) / 𝑘𝐵)
34 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
35 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑤 ∈ ℤ)
36 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑤))
38 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
39 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
4028, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39prodmolem2a 14596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
4140expr 642 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
4241exlimdv 1858 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
4327, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
44 climuni 14224 . . . . . . . . . . . 12 ((seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
4510, 43, 44syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))
46 eqeq2 2632 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑧𝑥 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)))
4745, 46syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑧))
4847expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴 → (𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑧)))
4948impd 447 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
5049exlimdv 1858 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
5150expimpd 628 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
5251rexlimdvva 3032 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℤ ∃𝑚 ∈ ℕ ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
539, 52syl5bir 233 . . . 4 (𝜑 → ((∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚))) → 𝑥 = 𝑧))
5453expdimp 453 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑤) ∧ seq𝑤( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
558, 54sylan2b 492 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
562, 55sylan2 491 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑧 = (seq1( · , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908  csb 3518  wss 3559  ifcif 4063   class class class wbr 4618  cmpt 4678   Or wor 4999  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852   Isom wiso 5853  (class class class)co 6610  cen 7903  Fincfn 7906  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887  1c1 9888   · cmul 9892   < clt 10025  cn 10971  cz 11328  cuz 11638  ...cfz 12275  seqcseq 12748  #chash 13064  cli 14156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160
This theorem is referenced by:  prodmo  14598
  Copyright terms: Public domain W3C validator