MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodrblem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodrblem2 14705
Description: Lemma for prodrb 14706. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
prodmo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
prodrb.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
prodrb.5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
prodrb.6 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
prodrb.7 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
Assertion
Ref Expression
prodrblem2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝑘,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem prodrblem2
StepHypRef Expression
1 prodrb.5 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 seqex 12843 . . 3 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
4 climres 14350 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
52, 3, 4sylancl 695 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
6 prodrb.7 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
7 prodmo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 1))
8 prodmo.2 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
98adantlr 751 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
10 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
117, 9, 10prodrblem 14703 . . . 4 (((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
126, 11mpidan 705 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( · , 𝐹))
1312breq1d 4695 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((seq𝑀( · , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
145, 13bitr3d 270 1 ((𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝐶 ↔ seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cres 5145  cfv 5926  cc 9972  1c1 9975   · cmul 9979  cz 11415  cuz 11725  seqcseq 12841  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-clim 14263
This theorem is referenced by:  prodrb  14706
  Copyright terms: Public domain W3C validator