Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1hash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proot1hash 38280
 Description: If an integral domain has a primitive 𝑁-th root of unity, it has exactly (ϕ‘𝑁) of them. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
proot1hash.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1hash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
proot1hash ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))

Proof of Theorem proot1hash
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 proot1hash.o . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
31, 2odf 18156 . . . . 5 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
4 ffn 6206 . . . . 5 (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0𝑂 Fn (Base‘𝐺))
5 fniniseg2 6503 . . . . 5 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
63, 4, 5mp2b 10 . . . 4 (𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}
7 simp3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
8 fniniseg 6501 . . . . . . . . . 10 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁)))
93, 4, 8mp2b 10 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
107, 9sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
1110simprd 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂𝑋) = 𝑁)
1211eqeq2d 2770 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → ((𝑂𝑥) = (𝑂𝑋) ↔ (𝑂𝑥) = 𝑁))
1312rabbidv 3329 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
14 isidom 19506 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
1514simprbi 483 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
16153ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ Domn)
17 domnring 19498 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19 proot1hash.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
2018, 19unitgrp 18867 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
2116, 17, 203syl 18 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝐺 ∈ Grp)
221subgacs 17830 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
23 acsmre 16514 . . . . . . 7 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
2421, 22, 233syl 18 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
25 eqid 2760 . . . . . . 7 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
2625mrcssv 16476 . . . . . 6 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺))
27 dfrab3ss 4048 . . . . . 6 (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ⊆ (Base‘𝐺) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}))
2824, 26, 273syl 18 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} = (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}))
29 incom 3948 . . . . . 6 (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}) = ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
30 simpl1 1228 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑅 ∈ IDomn)
31 simpl2 1230 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
32 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
33 simpl3 1232 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
3419, 2, 25proot1mul 38279 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
3530, 31, 32, 33, 34syl22anc 1478 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
3635ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑥 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) → 𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})))
3736ssrdv 3750 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂 “ {𝑁}) ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
386, 37syl5eqssr 3791 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}))
39 df-ss 3729 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ↔ ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
4038, 39sylib 208 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → ({𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋})) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
4129, 40syl5eq 2806 . . . . 5 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∩ {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁}) = {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁})
4213, 28, 413eqtrrd 2799 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → {𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∣ (𝑂𝑥) = 𝑁} = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)})
436, 42syl5eq 2806 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂 “ {𝑁}) = {𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)})
4443fveq2d 6356 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(𝑂 “ {𝑁})) = (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)}))
4510simpld 477 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
46 simp2 1132 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → 𝑁 ∈ ℕ)
4711, 46eqeltrd 2839 . . 3 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (𝑂𝑋) ∈ ℕ)
481, 2, 25odngen 18192 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) ∈ ℕ) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂𝑋)))
4921, 45, 47, 48syl3anc 1477 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘{𝑥 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘{𝑋}) ∣ (𝑂𝑥) = (𝑂𝑋)}) = (ϕ‘(𝑂𝑋)))
5011fveq2d 6356 . 2 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (ϕ‘(𝑂𝑋)) = (ϕ‘𝑁))
5144, 49, 503eqtrd 2798 1 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁})) → (♯‘(𝑂 “ {𝑁})) = (ϕ‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {crab 3054   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  {csn 4321  ◡ccnv 5265   “ cima 5269   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484  ♯chash 13311  ϕcphi 15671  Basecbs 16059   ↾s cress 16060  Moorecmre 16444  mrClscmrc 16445  ACScacs 16447  Grpcgrp 17623  SubGrpcsubg 17789  odcod 18144  mulGrpcmgp 18689  Ringcrg 18747  CRingccrg 18748  Unitcui 18839  Domncdomn 19482  IDomncidom 19483 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-phi 15673  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-prds 16310  df-pws 16312  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-mhm 17536  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-cntz 17950  df-od 18148  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-srg 18706  df-ring 18749  df-cring 18750  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-rnghom 18917  df-subrg 18980  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-nzr 19460  df-rlreg 19485  df-domn 19486  df-idom 19487  df-assa 19514  df-asp 19515  df-ascl 19516  df-psr 19558  df-mvr 19559  df-mpl 19560  df-opsr 19562  df-evls 19708  df-evl 19709  df-psr1 19752  df-vr1 19753  df-ply1 19754  df-coe1 19755  df-evl1 19883  df-cnfld 19949  df-mdeg 24014  df-deg1 24015  df-mon1 24089  df-uc1p 24090  df-q1p 24091  df-r1p 24092 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator