Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proot1mul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proot1mul 37255
Description: Any primitive 𝑁-th root of unity is a multiple of any other. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
idomsubgmo.g 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
proot1mul.o 𝑂 = (od‘𝐺)
proot1mul.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
proot1mul (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))

Proof of Theorem proot1mul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑅 ∈ IDomn)
2 isidom 19223 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ IDomn ↔ (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑅 ∈ Domn))
32simprbi 480 . . . . . 6 (𝑅 ∈ IDomn → 𝑅 ∈ Domn)
4 domnring 19215 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2621 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6 idomsubgmo.g . . . . . . 7 𝐺 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s (Unit‘𝑅))
75, 6unitgrp 18588 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Grp)
81, 3, 4, 74syl 19 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝐺 ∈ Grp)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109subgacs 17550 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
11 acsmre 16234 . . . . 5 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
128, 10, 113syl 18 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
13 proot1mul.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
14 simprl 793 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
15 proot1mul.o . . . . . . . . 9 𝑂 = (od‘𝐺)
169, 15odf 17877 . . . . . . . 8 𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0
17 ffn 6002 . . . . . . . 8 (𝑂:(Base‘𝐺)⟶ℕ0𝑂 Fn (Base‘𝐺))
18 fniniseg 6294 . . . . . . . 8 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁)))
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
2014, 19sylib 208 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) = 𝑁))
2120simpld 475 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐺))
2221snssd 4309 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺))
2312, 13, 22mrcssidd 16206 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋}))
24 snssg 4296 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
2514, 24syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}) ↔ {𝑋} ⊆ (𝐾‘{𝑋})))
2623, 25mpbird 247 . 2 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
276idomsubgmo 37254 . . . 4 ((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(#‘𝑥) = 𝑁)
2827adantr 481 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → ∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(#‘𝑥) = 𝑁)
2913mrccl 16192 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑋} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3012, 22, 29syl2anc 692 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
3120simprd 479 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑋) = 𝑁)
32 simplr 791 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑁 ∈ ℕ)
3331, 32eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑋) ∈ ℕ)
349, 15, 13odhash2 17911 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑋) ∈ ℕ) → (#‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂𝑋))
358, 21, 33, 34syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (#‘(𝐾‘{𝑋})) = (𝑂𝑋))
3635, 31eqtrd 2655 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (#‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁)
37 simprr 795 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))
38 fniniseg 6294 . . . . . . . 8 (𝑂 Fn (Base‘𝐺) → (𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) = 𝑁)))
3916, 17, 38mp2b 10 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) = 𝑁))
4037, 39sylib 208 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) = 𝑁))
4140simpld 475 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐺))
4241snssd 4309 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺))
4313mrccl 16192 . . . 4 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ {𝑌} ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4412, 42, 43syl2anc 692 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4540simprd 479 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑌) = 𝑁)
4645, 32eqeltrd 2698 . . . . 5 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝑂𝑌) ∈ ℕ)
479, 15, 13odhash2 17911 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑂𝑌) ∈ ℕ) → (#‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂𝑌))
488, 41, 46, 47syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (#‘(𝐾‘{𝑌})) = (𝑂𝑌))
4948, 45eqtrd 2655 . . 3 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (#‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)
50 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑥 = (𝐾‘{𝑋}) → (#‘𝑥) = (#‘(𝐾‘{𝑋})))
5150eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑥 = (𝐾‘{𝑋}) → ((#‘𝑥) = 𝑁 ↔ (#‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁))
52 fveq2 6148 . . . . 5 (𝑥 = (𝐾‘{𝑌}) → (#‘𝑥) = (#‘(𝐾‘{𝑌})))
5352eqeq1d 2623 . . . 4 (𝑥 = (𝐾‘{𝑌}) → ((#‘𝑥) = 𝑁 ↔ (#‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁))
5451, 53rmoi 3511 . . 3 ((∃*𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺)(#‘𝑥) = 𝑁 ∧ ((𝐾‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (#‘(𝐾‘{𝑋})) = 𝑁) ∧ ((𝐾‘{𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (#‘(𝐾‘{𝑌})) = 𝑁)) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
5528, 30, 36, 44, 49, 54syl122anc 1332 . 2 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → (𝐾‘{𝑋}) = (𝐾‘{𝑌}))
5626, 55eleqtrd 2700 1 (((𝑅 ∈ IDomn ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ (𝑂 “ {𝑁}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑂 “ {𝑁}))) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  ∃*wrmo 2910  wss 3555  {csn 4148  ccnv 5073  cima 5077   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cn 10964  0cn0 11236  #chash 13057  Basecbs 15781  s cress 15782  Moorecmre 16163  mrClscmrc 16164  ACScacs 16166  Grpcgrp 17343  SubGrpcsubg 17509  odcod 17865  mulGrpcmgp 18410  Ringcrg 18468  CRingccrg 18469  Unitcui 18560  Domncdomn 19199  IDomncidom 19200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-ec 7689  df-qs 7693  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-eqg 17514  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-od 17869  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-srg 18427  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lsp 18891  df-nzr 19177  df-rlreg 19202  df-domn 19203  df-idom 19204  df-assa 19231  df-asp 19232  df-ascl 19233  df-psr 19275  df-mvr 19276  df-mpl 19277  df-opsr 19279  df-evls 19425  df-evl 19426  df-psr1 19469  df-vr1 19470  df-ply1 19471  df-coe1 19472  df-evl1 19600  df-cnfld 19666  df-mdeg 23719  df-deg1 23720  df-mon1 23794  df-uc1p 23795  df-q1p 23796  df-r1p 23797
This theorem is referenced by:  proot1hash  37256
  Copyright terms: Public domain W3C validator